Как найти исходную геометрическую прогрессию, если от третьего члена геометрической прогрессии отнять 4, и первые три члена образуют арифметическую прогрессию с разностью 2?

Математика 8 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия третий член исходная прогрессия разность 2 Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала обозначим члены геометрической прогрессии. Пусть:

• a - первый член геометрической прогрессии,
• ar - второй член (где r - знаменатель прогрессии),
• ar² - третий член.

Согласно условию задачи, от третьего члена геометрической прогрессии отнимаем 4, и получаем, что первые три члена образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Это можно записать следующим образом:

(ar² - 4) - ar = 2

Теперь давайте упростим это уравнение:

1. Перепишем уравнение:

(ar² - 4) - ar = 2

2. Упростим его:

ar² - ar - 4 = 2

3. Переносим 2 влево:

ar² - ar - 6 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно a и r:

ar² - ar - 6 = 0

Решим его с помощью формулы для квадратных уравнений:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = r², b = -r и c = -6.

Теперь подставим значения:

r = 1, b = -1, c = -6. Подставляем в формулу:

r = (1 ± √(1² - 4 * 1 * (-6))) / (2 * 1)

r = (1 ± √(1 + 24)) / 2

r = (1 ± √25) / 2

r = (1 ± 5) / 2

Теперь у нас два возможных значения для r:

• r = (1 + 5) / 2 = 3,
• r = (1 - 5) / 2 = -2.

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение для a:

1) Если r = 3:

a * 3² - a * 3 - 6 = 0

9a - 3a - 6 = 0

6a - 6 = 0

a = 1.

Таким образом, первый член равен 1, а второй и третий будут:

• Первый член: 1,
• Второй член: 1 * 3 = 3,
• Третий член: 1 * 3² = 9.

Проверяем: 1, 3, 9 - это геометрическая прогрессия, а 1, 3, 5 - арифметическая (разность 2).

2) Если r = -2:

a * (-2)² - a * (-2) - 6 = 0

4a + 2a - 6 = 0

6a - 6 = 0

a = 1.

Таким образом, второй вариант будет:

• Первый член: 1,
• Второй член: 1 * (-2) = -2,
• Третий член: 1 * (-2)² = 4.

Проверяем: 1, -2, 4 - это геометрическая прогрессия, а 1, -2, -4 - арифметическая (разность 2).

Таким образом, исходная геометрическая прогрессия может быть:

• 1, 3, 9 (при r = 3),
• 1, -2, 4 (при r = -2).