Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то полученные числа будут образовывать арифметическую прогрессию. Если затем третье число увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Каковы эти числа?

Математика 8 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия математика 8 класс задачи на прогрессии три числа увеличение числа решение задач алгебра математические уравнения свойства прогрессий Новый

Для решения данной задачи обозначим три числа, образующие геометрическую прогрессию, как a, b и c. Поскольку числа находятся в геометрической прогрессии, существует отношение между ними, которое можно выразить следующим образом:

• b^2 = a * c

Теперь, согласно условию задачи, если мы увеличим второе число b на 2, то получим новую последовательность: a, b + 2, c. Эти числа должны образовывать арифметическую прогрессию, что означает, что разность между первым и вторым числом должна быть равна разности между вторым и третьим:

• (b + 2) - a = c - (b + 2)

Упрощая данное уравнение, получаем:

• b + 2 - a = c - b - 2
• 2b + 4 = a + c

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) b^2 = a * c
• 2) 2b + 4 = a + c

Следующий шаг - выразить a и c через b. Из второго уравнения можно выразить a:

• a = 2b + 4 - c

Теперь подставим это выражение для a в первое уравнение:

• b^2 = (2b + 4 - c) * c

Раскроем скобки:

• b^2 = 2bc + 4c - c^2

Переносим все члены в одну сторону:

• c^2 - 2bc + b^2 - 4c = 0

Это квадратное уравнение относительно c. Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

• c = (2b ± √((2b)^2 - 4 * 1 * (b^2 - 4))) / 2 * 1

Упрощая, получаем:

• c = (2b ± √(4b^2 - 4b^2 + 16)) / 2
• c = (2b ± 4) / 2
• c = b ± 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для c: c = b + 2 и c = b - 2. Рассмотрим оба случая.

1. Если c = b + 2, то подставим это значение в уравнение для a:

• a = 2b + 4 - (b + 2) = b + 2

Таким образом, в этом случае числа будут a = b + 2, b = b, c = b + 2. Это не может быть геометрической прогрессией.

2. Если c = b - 2, то подставим это значение в уравнение для a:

• a = 2b + 4 - (b - 2) = b + 6

Теперь у нас есть a = b + 6, b = b, c = b - 2. Подставляя эти значения в условие геометрической прогрессии:

• b^2 = (b + 6)(b - 2)

Раскроем скобки:

• b^2 = b^2 + 6b - 2b - 12
• 0 = 4b - 12

Решим это уравнение:

• 4b = 12
• b = 3

Теперь подставим значение b обратно для нахождения a и c:

• a = 3 + 6 = 9
• c = 3 - 2 = 1

Таким образом, три числа, образующие геометрическую прогрессию, равны:

• a = 9
• b = 3
• c = 1

Проверим условия задачи:

• Первоначальная последовательность: 9, 3, 1 (геометрическая прогрессия, так как 3^2 = 9 * 1).
• Увеличиваем второе число на 2: 9, 5, 1 (арифметическая прогрессия, так как 5 - 9 = 1 - 5).
• Увеличиваем третье число на 9: 9, 5, 10 (геометрическая прогрессия, так как 5^2 = 9 * 10).

Таким образом, числа 9, 3 и 1 удовлетворяют всем условиям задачи.