Как определить промежутки, на которых функция f(x)=2x^3-3x^2-36x+7 убывает?

Математика 8 класс Анализ функций определение промежутков убывания функция f(x) 2x^3-3x^2-36x+7 производная функции анализ функции математика 8 класс Новый

Чтобы определить промежутки, на которых функция f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7 убывает, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная функции f(x) будет обозначать скорость изменения функции. Для этого мы применим правила дифференцирования:
• Производная от 2x^3 равна 6x^2.
• Производная от -3x^2 равна -6x.
• Производная от -36x равна -36.
• Производная от постоянной 7 равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

f'(x) = 6x^2 - 6x - 36.

2. Найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Для нашего случая решим уравнение:

6x^2 - 6x - 36 = 0.

Упростим уравнение, разделив на 6:

x^2 - x - 6 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -6.

• Сначала найдем дискриминант: D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Теперь найдем корни: x1 = (1 + 5) / 2 = 3 и x2 = (1 - 5) / 2 = -2.
3. Определить знаки производной на интервалах. Теперь у нас есть критические точки x = -2 и x = 3. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:
• (-∞, -2)
• (-2, 3)
• (3, +∞)
4. Проверить знак производной на каждом интервале. Выберем тестовые точки из каждого интервала:
• Для интервала (-∞, -2) возьмем x = -3: f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 (положительное).
• Для интервала (-2, 3) возьмем x = 0: f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 (отрицательное).
• Для интервала (3, +∞) возьмем x = 4: f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 (положительное).
5. Сделать выводы. Теперь мы можем определить, где функция убывает:
• На интервале (-∞, -2) производная положительна, значит функция возрастает.
• На интервале (-2, 3) производная отрицательна, значит функция убывает.
• На интервале (3, +∞) производная положительна, значит функция снова возрастает.

Таким образом, функция f(x) убывает на промежутке (-2, 3).