Как вычислить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её первые члены составляют 3, -1, 1/3 и -1/9?

Математика 8 класс Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисление суммы прогрессии первые члены прогрессии математические задачи 8 класс

Чтобы вычислить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно знать первый член прогрессии и знаменатель прогрессии.

В данной прогрессии первые члены: 3, -1, 1/3 и -1/9. Давайте определим первый член и знаменатель.

1. Первый член (a): Это первый элемент прогрессии, который равен 3.
2. Знаменатель (q): Чтобы найти знаменатель, нужно разделить второй член на первый. Посчитаем:
• q = (-1) / 3 = -1/3
3. Теперь проверим, действительно ли это знаменатель, вычислив, как соотносятся остальные члены:
• Третий член: 1/3 = (-1) * (-1/3) = -1 * q
• Четвёртый член: -1/9 = (1/3) * (-1/3) = (1/3) * q

Теперь, когда мы знаем первый член и знаменатель, можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - q)

Подставим наши значения:

• a = 3
• q = -1/3

Теперь подставим эти значения в формулу:

S = 3 / (1 - (-1/3))

Упрощаем знаменатель:

• 1 - (-1/3) = 1 + 1/3 = 3/3 + 1/3 = 4/3

Теперь подставим это значение в формулу:

S = 3 / (4/3) = 3 * (3/4) = 9/4

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9/4.

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

S = a / (1 - r)

Где:

• S - сумма прогрессии
• a - первый член прогрессии
• r - знаменатель прогрессии (отношение между членами)

В данном случае:

• Первый член (a) = 3
• Второй член = -1
• Третий член = 1/3
• Четвертый член = -1/9

Чтобы найти r, делим второй член на первый:

r = -1 / 3 = -1/3

Теперь подставим значения в формулу:

S = 3 / (1 - (-1/3))

S = 3 / (1 + 1/3) = 3 / (4/3) = 3 * (3/4) = 9/4

Ответ: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9/4.