Какое количество железа содержится в оставшейся руде, если в 20 тоннах руды после удаления 5 тонн примесей, содержащих 18% железа, процентное содержание железа увеличилось на 4%?

Каковы значения a, m, n и c, если при делении многочлена x^3 - x + a на многочлен x^2 + 1 неполное частное равно mx + n, а остаток равен cx + 2?

Какова сумма третьих членов геометрических прогрессий, состоящих из трех различных целых чисел со суммой 31 и целым знаменателем?

Математика 8 класс Алгебра и Геометрия количество железа в руде примеси с железом процентное содержание железа деление многочлена неполное частное остаток многочлена сумма третьих членов Геометрическая прогрессия целые числа целый знаменатель Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Количество железа в оставшейся руде:

Сначала определим, сколько железа содержится в примесях. У нас есть 5 тонн примесей, содержащих 18% железа. Для этого мы можем воспользоваться формулой:

• Количество железа в примесях = 5 тонн * 18% = 5 * 0.18 = 0.9 тонн.

Теперь найдем общее количество железа в 20 тоннах руды до удаления примесей. Так как в руде содержится 0.9 тонн железа в примесях, нам нужно узнать, сколько железа было в руде изначально. Обозначим это количество как X.

После удаления 5 тонн примесей, у нас остается 15 тонн руды. Процентное содержание железа в оставшейся руде увеличилось на 4%. Это означает, что если раньше процентное содержание железа было Y%, то после удаления оно стало (Y + 4)%. Мы знаем, что:

• Процентное содержание железа в оставшейся руде = (X - 0.9) / 15 * 100.

Теперь можем записать уравнение:

• (X - 0.9) / 15 * 100 = (Y + 4).

Для решения этой системы уравнений нам нужно знать Y. Так как Y не задано, мы не можем найти точное значение X. Однако, если предположим, что Y было равно 0% (что маловероятно), тогда:

• X - 0.9 = 15 * (0 + 4) / 100 = 0.6.
• X = 0.6 + 0.9 = 1.5 тонн.

Таким образом, количество железа в оставшейся руде будет равно:

• X - 0.9 = 1.5 - 0.9 = 0.6 тонн.

2. Значения a, m, n и c при делении многочлена:

Рассмотрим многочлен x^3 - x + a, который делится на x^2 + 1. При делении мы получаем неполное частное mx + n и остаток cx + 2. Мы можем записать это в виде уравнения:

• x^3 - x + a = (x^2 + 1)(mx + n) + (cx + 2).

Теперь раскроем скобки:

• (x^2 + 1)(mx + n) = mx^3 + nx^2 + mx + n.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

• x^3 - x + a = mx^3 + nx^2 + mx + n + cx + 2.

Сравнивая коэффициенты, мы получаем систему уравнений:

• m = 1 (коэффициент при x^3),
• n = 0 (коэффициент при x^2),
• m + c = -1 (коэффициент при x),
• n + 2 = a (свободный член).

Теперь подставим известные значения:

• m = 1, n = 0, тогда c = -1 - 1 = -2.
• n + 2 = 0 + 2 = 2, значит a = 2.

Таким образом, мы получаем:

• a = 2, m = 1, n = 0, c = -2.

3. Сумма третьих членов геометрических прогрессий:

Пусть три различных целых числа, которые являются членами геометрической прогрессии, обозначим как a, ar, ar^2, где r - это знаменатель прогрессии. Из условия известно, что их сумма равна 31:

• a + ar + ar^2 = 31.

Факторизуем это уравнение:

• a(1 + r + r^2) = 31.

Теперь 31 - это простое число, поэтому возможно, что a = 1, 31, или -1, -31 и т.д. Однако, так как a должно быть целым числом, мы можем рассмотреть целые делители 31.

Теперь, если a = 1, то:

• 1 + r + r^2 = 31,
• r^2 + r - 30 = 0.

Решив это уравнение, мы получаем:

• r = 5 или r = -6.

Таким образом, члены прогрессии будут:

• 1, 5, 25 (при r = 5),
• 1, -6, 36 (при r = -6).

Сумма третьих членов будет равна:

• 25 + 36 = 61.

Таким образом, в ответах мы имеем:

• Количество железа в оставшейся руде: 0.6 тонн.
• a = 2, m = 1, n = 0, c = -2.
• Сумма третьих членов геометрической прогрессии: 61.