Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Количество железа в оставшейся руде:

Сначала определим, сколько железа содержится в примесях. У нас есть 5 тонн примесей, содержащих 18% железа. Для этого мы можем воспользоваться формулой:

• Количество железа в примесях = 5 тонн * 18% = 5 * 0.18 = 0.9 тонн.

Теперь найдем общее количество железа в 20 тоннах руды до удаления примесей. Так как в руде содержится 0.9 тонн железа в примесях, нам нужно узнать, сколько железа было в руде изначально. Обозначим это количество как X.

После удаления 5 тонн примесей, у нас остается 15 тонн руды. Процентное содержание железа в оставшейся руде увеличилось на 4%. Это означает, что если раньше процентное содержание железа было Y%, то после удаления оно стало (Y + 4)%. Мы знаем, что:

• Процентное содержание железа в оставшейся руде = (X - 0.9) / 15 * 100.

Теперь можем записать уравнение:

• (X - 0.9) / 15 * 100 = (Y + 4).

Для решения этой системы уравнений нам нужно знать Y. Так как Y не задано, мы не можем найти точное значение X. Однако, если предположим, что Y было равно 0% (что маловероятно),тогда:

• X - 0.9 = 15 * (0 + 4) / 100 = 0.6.
• X = 0.6 + 0.9 = 1.5 тонн.

Таким образом, количество железа в оставшейся руде будет равно:

• X - 0.9 = 1.5 - 0.9 = 0.6 тонн.

2. Значения a, m, n и c при делении многочлена:

Рассмотрим многочлен x^3 - x + a, который делится на x^2 + 1. При делении мы получаем неполное частное mx + n и остаток cx + 2. Мы можем записать это в виде уравнения:

• x^3 - x + a = (x^2 + 1)(mx + n) + (cx + 2).

Теперь раскроем скобки:

• (x^2 + 1)(mx + n) = mx^3 + nx^2 + mx + n.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

• x^3 - x + a = mx^3 + nx^2 + mx + n + cx + 2.

Сравнивая коэффициенты, мы получаем систему уравнений:

• m = 1 (коэффициент при x^3),
• n = 0 (коэффициент при x^2),
• m + c = -1 (коэффициент при x),
• n + 2 = a (свободный член).

Теперь подставим известные значения:

• m = 1, n = 0, тогда c = -1 - 1 = -2.
• n + 2 = 0 + 2 = 2, значит a = 2.

Таким образом, мы получаем:

• a = 2, m = 1, n = 0, c = -2.

3. Сумма третьих членов геометрических прогрессий:

Пусть три различных целых числа, которые являются членами геометрической прогрессии, обозначим как a, ar, ar^2, где r - это знаменатель прогрессии. Из условия известно, что их сумма равна 31:

• a + ar + ar^2 = 31.

Факторизуем это уравнение:

• a(1 + r + r^2) = 31.

Теперь 31 - это простое число, поэтому возможно, что a = 1, 31, или -1, -31 и т.д. Однако, так как a должно быть целым числом, мы можем рассмотреть целые делители 31.

Теперь, если a = 1, то:

• 1 + r + r^2 = 31,
• r^2 + r - 30 = 0.

Решив это уравнение, мы получаем:

• r = 5 или r = -6.

Таким образом, члены прогрессии будут:

• 1, 5, 25 (при r = 5),
• 1, -6, 36 (при r = -6).

Сумма третьих членов будет равна:

• 25 + 36 = 61.

Таким образом, в ответах мы имеем:

• Количество железа в оставшейся руде: 0.6 тонн.
• a = 2, m = 1, n = 0, c = -2.
• Сумма третьих членов геометрической прогрессии: 61.