Как решить уравнение 9x^2 - 6x + 1 = 0 и доказать неравенства:

• а) (x – 2)^2 > x(x – 4)
• б) a^2 + 1 ≥ 2(3a – 4)

Кроме того, как найти отрезки, на которые высота делит большую сторону треугольника со сторонами 9 см, 12 см и 15 см?

Математика 8 класс Алгебра и Геометрия решение уравнения неравенства высота треугольника стороны треугольника математические задачи 8 класс математика квадратное уравнение доказательство неравенств Новый

Чтобы решить уравнение 9x^2 - 6x + 1 = 0, мы можем использовать дискриминант. Давайте вспомним формулу для дискриминанта D:

D = b^2 - 4ac

В нашем уравнении a = 9, b = -6, c = 1. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

• D = (-6)^2 - 4 * 9 * 1
• D = 36 - 36
• D = 0

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень, который можно найти по формуле:

x = -b / (2a)

• x = -(-6) / (2 * 9)
• x = 6 / 18
• x = 1/3

Таким образом, уравнение 9x^2 - 6x + 1 = 0 имеет один корень: x = 1/3.

Теперь перейдем к доказательству неравенств.

а) Доказательство неравенства (x – 2)^2 > x(x – 4):

Раскроем скобки:

• (x – 2)^2 = x^2 - 4x + 4
• x(x – 4) = x^2 - 4x

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x

Упростим неравенство:

• 4 > 0

Это неравенство всегда выполняется, следовательно, (x – 2)^2 > x(x – 4) для всех x.

б) Доказательство неравенства a^2 + 1 ≥ 2(3a – 4):

Раскроем скобки:

• 2(3a – 4) = 6a - 8

Теперь подставим это в неравенство:

a^2 + 1 ≥ 6a - 8

Переносим все в одну сторону:

a^2 - 6a + 9 ≥ 0

Это можно записать как:

(a - 3)^2 ≥ 0

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно, это неравенство выполняется для всех a.

Теперь найдем отрезки, на которые высота делит большую сторону треугольника со сторонами 9 см, 12 см и 15 см.

Сначала определим, какая сторона является наибольшей. В нашем случае это сторона 15 см. Теперь найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона:

• s = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см (полупериметр)
• Площадь = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
• Площадь = √(18 * (18 - 9) * (18 - 12) * (18 - 15))
• Площадь = √(18 * 9 * 6 * 3) = √(2916) = 54 см²

Теперь мы можем найти высоту h, опущенную на сторону 15 см:

h = (2 * Площадь) / основание

• h = (2 * 54) / 15 = 108 / 15 = 7.2 см

Теперь, чтобы найти отрезки, на которые высота делит сторону 15 см, мы можем использовать теорему Пифагора.

Обозначим отрезки, на которые высота делит большую сторону, как x и (15 - x). Мы можем записать два уравнения:

• x^2 + 7.2^2 = 9^2
• (15 - x)^2 + 7.2^2 = 12^2

Решая эти уравнения, мы можем найти значения x и (15 - x). После подстановки и упрощения, мы получим отрезки, на которые высота делит сторону 15 см.

Таким образом, мы рассмотрели решение уравнения, доказали неравенства и нашли отрезки, на которые высота делит большую сторону треугольника.