Чтобы определить область определения функций, нам нужно выяснить, при каких значениях x функция определена. Обычно это связано с тем, что знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно. Рассмотрим каждую функцию по отдельности:

1. f(x) = (x + 1)/(x - 5);

   Здесь знаменатель равен x - 5. Чтобы функция была определена, мы должны исключить значение, при котором знаменатель равен нулю:

   x - 5 = 0
   x = 5

   Таким образом, область определения функции:

   x ∈ R, x ≠ 5
   В виде числового промежутка это записывается как: (-∞, 5) ∪ (5, +∞).

2. f(x) = (2x - 3)/(x + 1);

   Здесь знаменатель равен x + 1. Чтобы функция была определена, мы должны исключить значение, при котором знаменатель равен нулю:

   x + 1 = 0
   x = -1

   Таким образом, область определения функции:

   x ∈ R, x ≠ -1
   В виде числового промежутка это записывается как: (-∞, -1) ∪ (-1, +∞).

3. f(x) = 3x + 4;

   Эта функция является линейной и не имеет дробей, поэтому она определена для всех значений x:

   Область определения функции: x ∈ R
   В виде числового промежутка это записывается как: (-∞, +∞).

4. f(x) = (1 - x)/(x² + 1);

   Здесь знаменатель равен x² + 1. Это выражение всегда положительно, так как x² всегда неотрицательно, и прибавление 1 делает его положительным для всех значений x:

   Таким образом, область определения функции:

   x ∈ R
   В виде числового промежутка это записывается как: (-∞, +∞).

Итак, подводя итог:

• f(x) = (x + 1)/(x - 5): (-∞, 5) ∪ (5, +∞)
• f(x) = (2x - 3)/(x + 1): (-∞, -1) ∪ (-1, +∞)
• f(x) = 3x + 4: (-∞, +∞)
• f(x) = (1 - x)/(x² + 1): (-∞, +∞)