Для решения неравенств с использованием числовых промежутков необходимо сначала определить нули функций, а затем проанализировать знаки выражений на промежутках. Рассмотрим каждое из неравенств по отдельности.

Шаг 1: Найдем нули функции. Уравнение (x - 1)(x + 2) = 0 имеет два корня:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 2 = 0 → x = -2

Шаг 2: Разделим числовую ось на промежутки, используя найденные корни: (-∞; -2), (-2; 1), (1; +∞).

Шаг 3: Проверим знак на каждом промежутке:

• Для x < -2, например, x = -3: (-3 - 1)(-3 + 2) = (-4)(-1) > 0
• Для -2 < x < 1, например, x = 0: (0 - 1)(0 + 2) = (-1)(2) < 0
• Для x > 1, например, x = 2: (2 - 1)(2 + 2) = (1)(4) > 0

Шаг 4: Таким образом, решение неравенства (x - 1)(x + 2) < 0:

Шаг 1: Найдем нули функции. Уравнение (x - 2)(x - 5) = 0 имеет два корня:

• x - 2 = 0 → x = 2
• x - 5 = 0 → x = 5

Шаг 2: Разделим числовую ось на промежутки: (-∞; 2), (2; 5), (5; +∞).

Шаг 3: Проверим знак на каждом промежутке:

• Для x < 2, например, x = 0: (0 - 2)(0 - 5) = (-2)(-5) > 0
• Для 2 < x < 5, например, x = 3: (3 - 2)(3 - 5) = (1)(-2) < 0
• Для x > 5, например, x = 6: (6 - 2)(6 - 5) = (4)(1) > 0

Шаг 4: Таким образом, решение неравенства (x - 2)(x - 5) > 0:

Шаг 1: Перепишем неравенство: (x - 3)² < 9. Для этого найдем корни уравнения (x - 3)² = 9:

• x - 3 = 3 → x = 6
• x - 3 = -3 → x = 0

Шаг 2: Разделим числовую ось на промежутки: (-∞; 0), (0; 6), (6; +∞).

Шаг 3: Проверим знак на каждом промежутке:

• Для x < 0, например, x = -1: (-1 - 3)² = 16 > 9
• Для 0 < x < 6, например, x = 3: (3 - 3)² = 0 < 9
• Для x > 6, например, x = 7: (7 - 3)² = 16 > 9

Шаг 4: Таким образом, решение неравенства (x - 3)² < 9:

Шаг 1: Перепишем неравенство: (x + 1)² > 1. Найдем корни уравнения (x + 1)² = 1:

• x + 1 = 1 → x = 0
• x + 1 = -1 → x = -2

Шаг 2: Разделим числовую ось на промежутки: (-∞; -2), (-2; 0), (0; +∞).

Шаг 3: Проверим знак на каждом промежутке:

• Для x < -2, например, x = -3: (-3 + 1)² = 4 > 1
• Для -2 < x < 0, например, x = -1: (-1 + 1)² = 0 < 1
• Для x > 0, например, x = 1: (1 + 1)² = 4 > 1

Шаг 4: Таким образом, решение неравенства (x + 1)² > 1:

В заключение, решения неравенств с использованием числовых промежутков приведены выше.