Найди, какое наименьшее значение принимает выражение z = x" + y" + 6x + 4y + 13, если x и y удовлетворяют системе: 3x + 2y.

Математика 8 класс Оптимизация выражений наименьшее значение выражение z система уравнений математика 8 класс задачи по математике оптимизация выражений Новый

Давайте разберем данное выражение и условия, чтобы найти наименьшее значение z.

Мы имеем следующее выражение:

z = x² + y² + 6x + 4y + 13

И условие:

3x + 2y ≤ 12

Первым шагом мы можем упростить выражение z. Для этого мы можем использовать метод Completing the Square (дополнение до полного квадрата).

1. Сначала упростим первую часть выражения, которая содержит x:
• z = x² + 6x + y² + 4y + 13
• Для x² + 6x мы можем дополнить квадрат:
• x² + 6x = (x + 3)² - 9
2. Теперь сделаем то же самое для y:
• y² + 4y = (y + 2)² - 4
3. Теперь подставим эти результаты обратно в z:
• z = ((x + 3)² - 9) + ((y + 2)² - 4) + 13
• z = (x + 3)² + (y + 2)² + 0

Таким образом, мы получили:

z = (x + 3)² + (y + 2)²

Теперь нам нужно минимизировать z при условии, что 3x + 2y ≤ 12. Заметим, что (x + 3)² и (y + 2)² всегда неотрицательны, и их сумма будет минимальной, когда оба квадрата равны нулю.

Это означает, что:

• x + 3 = 0, следовательно, x = -3
• y + 2 = 0, следовательно, y = -2

Теперь проверим, удовлетворяет ли пара (x, y) = (-3, -2) условию 3x + 2y ≤ 12:

3(-3) + 2(-2) = -9 - 4 = -13, что действительно меньше 12.

Таким образом, наименьшее значение z, которое мы можем получить, равно:

z = (0) + (0) = 0.

Итак, наименьшее значение выражения z = x² + y² + 6x + 4y + 13 при заданном условии равно 0.