Сумма двух чисел составляет 10. Каковы эти числа, если сумма их кубов минимальна?

Математика 8 класс Оптимизация выражений сумма двух чисел сумма кубов минимизация суммы кубов задача по математике решение уравнения математика 8 класс Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим два числа как x и y. Из условия мы знаем, что:

Сумма чисел:

x + y = 10

Теперь мы хотим минимизировать сумму их кубов:

Сумма кубов:

S = x^3 + y^3

Используя формулу для суммы кубов, мы можем выразить S через одно из чисел. Мы можем выразить y через x:

y = 10 - x

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы кубов:

S = x^3 + (10 - x)^3

Теперь раскроем скобки:

(10 - x)^3 = 1000 - 300x + 30x^2 - x^3

Тогда сумма кубов будет:

S = x^3 + (1000 - 300x + 30x^2 - x^3)

Упростим это выражение:

S = 1000 - 300x + 30x^2

Теперь у нас есть квадратичная функция S, которую мы можем минимизировать. Для этого найдем производную S по x и приравняем её к нулю:

S' = -300 + 60x

Приравняем производную к нулю:

-300 + 60x = 0

Решим это уравнение:

60x = 300

x = 5

Теперь, подставив значение x обратно в уравнение для y:

y = 10 - x = 10 - 5 = 5

Ответ:

Оба числа равны 5. Таким образом, числа, сумма которых составляет 10 и сумма кубов которых минимальна, это 5 и 5.