В классе учатся 15 мальчиков и 15 девочек. Известно, что каждый мальчик дружит со всеми девочками и ещё с 6 мальчиками, каждая девочка дружит со всеми мальчиками и с 4 девочками, и нет трёх попарно дружащих мальчиков и нет трёх попарно дружащих девочек. Какое число различных компаний из трёх учеников можно составить так, чтобы хотя бы двое из трёх не дружили между собой?

Математика 8 класс Комбинаторика математика 8 класс задачи на комбинаторику дружба в классе компании из учеников количество компаний комбинаторные задачи дружба мальчиков и девочек графы и дружба задачи на выбор тройки учеников условия дружбы математические задачи решение задач дружба и компании Новый

Давайте разберёмся с условиями задачи и попробуем найти решение шаг за шагом.

У нас есть 15 мальчиков и 15 девочек. Из условий задачи:

• Каждый мальчик дружит со всеми 15 девочками и ещё с 6 мальчиками.
• Каждая девочка дружит со всеми 15 мальчиками и с 4 девочками.
• Нет трёх попарно дружащих мальчиков и нет трёх попарно дружащих девочек.

Нам нужно найти число различных компаний из трёх учеников, в которых хотя бы двое из трёх не дружат между собой.

Рассмотрим все возможные комбинации троек:

1. Три мальчика: Так как нет трёх попарно дружащих мальчиков, любая тройка мальчиков будет удовлетворять условию, что хотя бы двое из них не дружат. Выберем 3 мальчика из 15: C(15, 3).
2. Три девочки: Аналогично, нет трёх попарно дружащих девочек, значит любая тройка девочек удовлетворяет условию. Выберем 3 девочки из 15: C(15, 3).
3. Два мальчика и одна девочка: Любая пара мальчиков из 15 не может дружить с третьим мальчиком, но дружит с любой девочкой. Выберем 2 мальчиков из 15 и 1 девочку из 15: C(15, 2) * C(15, 1). Однако, так как два мальчика не дружат, это подходит под условие.
4. Два девочки и один мальчик: Аналогично предыдущему пункту, выберем 2 девочек из 15 и 1 мальчика из 15: C(15, 2) * C(15, 1). Две девочки не дружат, значит, это подходит под условие.

Теперь посчитаем количество троек для каждого случая:

• Количество троек мальчиков: C(15, 3) = 455.
• Количество троек девочек: C(15, 3) = 455.
• Количество троек (2 мальчика и 1 девочка): C(15, 2) * C(15, 1) = 105 * 15 = 1575.
• Количество троек (2 девочки и 1 мальчик): C(15, 2) * C(15, 1) = 105 * 15 = 1575.

Сложим все найденные количества:

455 (тройки мальчиков) + 455 (тройки девочек) + 1575 (2 мальчика и 1 девочка) + 1575 (2 девочки и 1 мальчик) = 4060.

Таким образом, общее количество троек, в которых хотя бы двое не дружат между собой, равно 4060.