Похожие вопросы
2025-09-01 16:52:30
В треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, сторона A равна 1 см, а сторона BC равна корень из 2. Как можно доказать, что медианы AK и CM перпендикулярны друг другу?
Математика 8 класс Геометрия треугольников треугольник ABC угол C 90 градусов сторона A 1 см сторона BC корень из 2 медианы AK CM перпендикулярные медианы доказательство перпендикулярности свойства треугольников математика 8 класс
2025-09-01 16:52:41
Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам, сторона AC равна 1 см, а сторона BC равна корень из 2. Мы должны доказать, что медианы AK и CM перпендикулярны друг другу.
Для начала, давайте обозначим длины сторон:
- AC = 1 см
- BC = корень из 2 см
- AB = ? (найдем эту сторону)
Поскольку треугольник ABC прямоугольный, мы можем применить теорему Пифагора:
AB² = AC² + BC²
AB² = 1² + (корень из 2)²
AB² = 1 + 2 = 3
AB = корень из 3 см
Теперь у нас есть все стороны треугольника ABC:
- AC = 1 см
- BC = корень из 2 см
- AB = корень из 3 см
Теперь найдем координаты точек A, B и C. Предположим, что:
- C(0, 0)
- A(0, 1)
- B(корень из 2, 0)
Теперь найдем координаты середины отрезков AK и CM:
Середина отрезка BC (точка K):
- K = ((0 + корень из 2) / 2, (0 + 0) / 2) = (корень из 2 / 2, 0)
Середина отрезка AB (точка M):
- M = ((0 + корень из 2) / 2, (1 + 0) / 2) = (корень из 2 / 2, 1/2)
Теперь нам нужно найти векторы AK и CM:
- Вектор AK = K - A = (корень из 2 / 2 - 0, 0 - 1) = (корень из 2 / 2, -1)
- Вектор CM = M - C = (корень из 2 / 2 - 0, 1/2 - 0) = (корень из 2 / 2, 1/2)
Теперь мы можем проверить, перпендикулярны ли векторы AK и CM. Для этого воспользуемся скалярным произведением:
Скалярное произведение векторов AK и CM равно:
(корень из 2 / 2) * (корень из 2 / 2) + (-1) * (1/2) = (2 / 4) - (1/2) = 0
Так как скалярное произведение равно 0, это значит, что векторы AK и CM перпендикулярны.
Вывод: Мы доказали, что медианы AK и CM перпендикулярны друг другу.