Чтобы найти сумму радиусов R и r для равностороннего треугольника, давайте начнем с того, что высота равностороннего треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Обозначим сторону равностороннего треугольника как a. Высота h равностороннего треугольника выражается через сторону a следующим образом:

h = (a * √3) / 2

Теперь, если высота равностороннего треугольника составляет 8 см, мы можем выразить сторону a:

1. Решим уравнение для a:
2. 8 = (a * √3) / 2
3. Умножим обе стороны на 2:
4. 16 = a * √3
5. Теперь найдем a:
6. a = 16 / √3 ≈ 9.24 см.

Теперь, зная сторону a, можем найти радиусы R и r:

• Радиус описанной окружности (R):
• Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника: R = a / √3.
• Подставим значение a:
• R = (16 / √3) / √3 = 16 / 3 ≈ 5.33 см.
• Радиус вписанной окружности (r):
• Формула для радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника: r = a / (2√3).
• Подставим значение a:
• r = (16 / √3) / (2√3) = 16 / 6 = 8 / 3 ≈ 2.67 см.

Теперь найдем сумму радиусов R и r:

R + r = 16/3 + 8/3 = 24/3 = 8 см.

Теперь рассмотрим случай, когда высота равностороннего треугольника равна 9 см. Повторим те же шаги:

1. Решим уравнение для a:
2. 9 = (a * √3) / 2
3. Умножим обе стороны на 2:
4. 18 = a * √3
5. Теперь найдем a:
6. a = 18 / √3 ≈ 10.39 см.

Теперь можем найти радиус описанной окружности R:

• R = a / √3:
• R = (18 / √3) / √3 = 18 / 3 = 6 см.

Таким образом, радиус описанной окружности для равностороннего треугольника с высотой 9 см составляет 6 см.