Через вершину прямого угла C равнобедренного треугольника ABC проведена прямая CM, которая перпендикулярна к его плоскости. Какое расстояние от точки M до прямой AB, если AC равно 5, а CM равно 12?

Математика 9 класс Треугольники и их свойства равнобедренный треугольник расстояние от точки до прямой задача по математике треугольник ABC Перпендикуляр к плоскости длина отрезка геометрия решение задачи Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где угол C является прямым. Это значит, что стороны AC и BC равны. Поскольку AC равно 5, то и BC также равно 5.

Теперь определим расположение точек в пространстве. Пусть точка C находится в начале координат (0, 0, 0), точка A будет на оси X, а точка B - на оси Y. Таким образом, координаты точек будут следующими:

• A(5, 0, 0)
• B(0, 5, 0)
• C(0, 0, 0)

Теперь определим точку M. Она находится на прямой CM, которая перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Поскольку CM равно 12, координаты точки M будут:

• M(0, 0, 12)

Теперь нам нужно найти расстояние от точки M до прямой AB. Для этого сначала найдем уравнение прямой AB в плоскости XY. Прямая AB соединяет точки A и B, и у нее можно найти уравнение, используя координаты этих точек.

Уравнение прямой AB можно записать в параметрической форме:

• x = 5 - 5t
• y = 5t

где t - параметр, изменяющийся от 0 до 1.

Теперь мы можем найти направление прямой AB. Вектор AB можно выразить как:

• AB = B - A = (0, 5, 0) - (5, 0, 0) = (-5, 5, 0)

Теперь найдем вектор, который будет перпендикулярен вектору AB и будет направлен от точки M к плоскости, в которой лежит прямая AB. Этот вектор будет направлен вдоль оси Z, так как M находится выше плоскости XY. Таким образом, вектор, направленный от M к плоскости, будет выглядеть так:

• v = (0, 0, -12)

Теперь, чтобы найти расстояние от точки M до прямой AB, воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой в пространстве. Расстояние d от точки P(x0, y0, z0) до прямой, задаваемой точкой A(x1, y1, z1) и направлением вектора D(dx, dy, dz), можно найти по формуле:

d = |(P - A) x D| / |D|,

где "x" - векторное произведение, а "|" - модуль вектора.

В нашем случае:

• P = M(0, 0, 12)
• A = A(5, 0, 0)
• D = AB(-5, 5, 0)

Сначала найдем вектор P - A:

• P - A = (0, 0, 12) - (5, 0, 0) = (-5, 0, 12)

Теперь найдем векторное произведение (P - A) x D:

• (-5, 0, 12) x (-5, 5, 0) = |i j k|
• |-5 0 12|
• |-5 5 0|

Вычисляем детерминант:

• i(0*0 - 12*5) - j(-5*0 - 12*-5) + k(-5*5 - 0*-5)
• = i(0 - 60) - j(0 - 60) + k(-25 - 0)
• = -60i + 60j - 25k

Теперь найдем модуль этого вектора:

• |(-60, 60, -25)| = sqrt((-60)^2 + 60^2 + (-25)^2) = sqrt(3600 + 3600 + 625) = sqrt(7825)

Теперь найдем модуль вектора D:

• |D| = sqrt((-5)^2 + 5^2 + 0^2) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50) = 5sqrt(2)

Теперь подставим все в формулу для расстояния:

d = |(P - A) x D| / |D| = sqrt(7825) / (5sqrt(2)) = sqrt(7825)/5sqrt(2).

Таким образом, расстояние от точки M до прямой AB равно sqrt(7825)/(5sqrt(2)).