Число √2 и ³√3 является корнем многочлена шестой степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Какова сумма его коэффициентов?

Математика 9 класс Многочлены и их корни число √2 ³√3 корень многочлена шестая степень целые коэффициенты старший коэффициент 1 сумма коэффициентов математика 9 класс Новый

Чтобы найти сумму коэффициентов многочлена шестой степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1, у которого корнями являются числа √2 и ³√3, нам нужно учесть несколько важных моментов.

Шаг 1: Определение корней многочлена

• Корень √2 имеет сопряженный корень -√2.
• Корень ³√3 имеет два других сопряженных корня: ω³√3 и ω²³√3, где ω - это комплексный корень из единицы (ω = e^(2πi/3), ω² = e^(4πi/3)).

Таким образом, у нас есть следующие корни:

• √2
• -√2
• ³√3
• ω³√3
• ω²³√3

Шаг 2: Построение многочлена

Многочлен можно записать в виде:

(x - √2)(x + √2)(x - ³√3)(x - ω³√3)(x - ω²³√3)

Сначала упростим произведение первых двух множителей:

(x - √2)(x + √2) = x² - 2

Теперь рассмотрим произведение корней ³√3:

(x - ³√3)(x - ω³√3)(x - ω²³√3)

Этот многочлен имеет вид x³ - 3, так как сумма корней равна ³√3 + ω³√3 + ω²³√3 = 0 (по свойству корней многочлена).

Шаг 3: Итоговый многочлен

Теперь мы можем записать полный многочлен:

f(x) = (x² - 2)(x³ - 3)

Шаг 4: Раскрытие скобок

Раскроем скобки:

f(x) = x² * (x³ - 3) - 2 * (x³ - 3) = x⁵ - 3x² - 2x³ + 6

Получаем многочлен:

f(x) = x⁵ - 2x³ - 3x² + 6

Шаг 5: Сумма коэффициентов

Теперь найдем сумму коэффициентов многочлена. Для этого подставим x = 1:

f(1) = 1 - 2 - 3 + 6 = 2

Ответ: Сумма коэффициентов многочлена равна 2.