Дано:

I – середина GH, I∈m, H∈n, m∥n, m не перпендикулярна GH

Доказать:

1. Расстояние от точки G до прямой m равно расстоянию от точки I до прямой n.
2. Расстояние от точки G до прямой n равно удвоенному расстоянию между прямыми m и n.

Математика 9 класс Геометрия математика геометрия расстояние от точки до прямой средняя линия параллельные прямые доказательство теоремы Новый

Для начала давайте разберемся с задачей и обозначениями. У нас есть две параллельные прямые m и n, и точка G, которая не лежит на этих прямых. Точка I является серединой отрезка GH, где H также не лежит на прямых m и n. Мы должны доказать два утверждения о расстояниях.

Первое утверждение:

Доказать, что расстояние от точки G до прямой m равно расстоянию от точки I до прямой n.

1. Расстояние от точки до прямой определяется как перпендикуляр, проведенный из этой точки к прямой.
2. Поскольку m и n параллельны, расстояние между ними является постоянным. Обозначим это расстояние как d.
3. Поскольку I - середина отрезка GH, то отрезок GI равен отрезку IH.
4. Теперь рассмотрим перпендикуляры, проведенные из точек G и I к прямым m и n соответственно.
5. Поскольку I - середина и m параллельна n, то перпендикуляр из G до m и перпендикуляр из I до n имеют одинаковую длину, так как они оба пересекают параллельные прямые на одном и том же расстоянии d.
6. Таким образом, мы можем заключить, что расстояние от G до m равно расстоянию от I до n.

Второе утверждение:

Доказать, что расстояние от точки G до прямой n равно удвоенному расстоянию между прямыми m и n.

1. Расстояние от точки G до прямой n также можно определить через перпендикуляр, проведенный из G до n.
2. Поскольку расстояние между прямыми m и n равно d, то по отношению к точке G, которая находится выше прямой m, расстояние от G до n можно выразить как сумму расстояний от G до m и от m до n.
3. Расстояние от G до m равно d (как мы уже доказали), а расстояние от m до n также равно d.
4. Таким образом, расстояние от G до n равно d + d, что равно 2d.
5. Следовательно, расстояние от точки G до прямой n действительно равно удвоенному расстоянию между прямыми m и n.

В результате мы доказали оба утверждения, используя свойства параллельных прямых и свойства средних. Если есть вопросы по решению, не стесняйтесь задавать их!