Давайте поэтапно разберем все вопросы, связанные с треугольником ABC с заданными координатами вершин A(6;1), B(-6;-4), C(-10;-1).

Длину стороны BC можно найти с помощью формулы для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

Расстояние = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

В нашем случае:

• Координаты B: (-6; -4)
• Координаты C: (-10; -1)

Подставим значения в формулу:

Расстояние BC = sqrt((-10 - (-6))² + (-1 - (-4))²) = sqrt((-10 + 6)² + (-1 + 4)²) = sqrt((-4)² + (3)²) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5.

Таким образом, длина стороны BC равна 5.

Чтобы составить уравнение линии, нужно найти ее наклон (угловой коэффициент) и использовать координаты одной из точек (например, точки B).

Наклон (m) можно найти по формуле:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Для точек B(-6; -4) и C(-10; -1):

• m = (-1 - (-4)) / (-10 - (-6)) = (3) / (-4) = -3/4.

Теперь, используя уравнение прямой в виде y - y1 = m(x - x1), подставим координаты точки B:

y - (-4) = -3/4(x - (-6)).

Упростим:

y + 4 = -3/4(x + 6).

После преобразований получаем уравнение линии BC: 3x + 4y + 6 = 0.

Высота из точки A перпендикулярна стороне BC, значит, нужно найти наклон высоты, который будет обратным (с противоположным знаком) наклону линии BC.

Наклон высоты = 4/3 (обратный и с противоположным знаком от -3/4).

Теперь используем точку A(6; 1):

y - 1 = 4/3(x - 6).

Упрощаем:

y - 1 = 4/3x - 8/3.

y = 4/3x - 5/3.

Уравнение высоты из точки A: 4x - 3y - 5 = 0.

Для нахождения длины высоты используем формулу расстояния от точки до прямой. Уравнение линии BC у нас 3x + 4y + 6 = 0.

Формула расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

Расстояние = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A² + B²).

В нашем случае A=3, B=4, C=6 и точка A(6; 1):

Расстояние = |3*6 + 4*1 + 6| / sqrt(3² + 4²) = |18 + 4 + 6| / 5 = |28| / 5 = 28/5 = 5.6.

Таким образом, длина высоты, проведенной из вершины A, равна 5.6.

Для нахождения уравнения биссектрисы угла B, сначала найдем угловые коэффициенты сторон AB и BC.

Наклон AB:

m1 = (yA - yB) / (xA - xB) = (1 - (-4)) / (6 - (-6)) = 5 / 12.

Наклон BC, который мы уже нашли: m2 = -3/4.

Теперь используем формулу для нахождения углового коэффициента биссектрисы:

m_b = (m1 + m2) / (1 - m1*m2).

Подставляем значения:

m_b = (5/12 - 3/4) / (1 - (5/12)(-3/4)).

Упрощаем и находим угловой коэффициент биссектрисы. Затем, используя точку B, составим уравнение биссектрисы.

Плоскость треугольника определяется с помощью векторов, образованных из его вершин. Найдем два вектора:

• AB = B - A = (-6 - 6; -4 - 1) = (-12; -5)
• AC = C - A = (-10 - 6; -1 - 1) = (-16; -2)

Теперь можем найти нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение:

N = AB x AC.

После нахождения нормального вектора можно записать уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты нормального вектора.

Таким образом, мы рассмотрели все этапы решения задач, связанных с треугольником ABC.