Докажите, что результат вычисления выражения не зависит от значения переменной:

1. (3x + 8)² - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)²;
2. (4x - 7)² + (4x - 11)² + 2(4x - 7)(11 - 4x).

Математика 9 класс Алгебраические выражения и их преобразования вычисление выражения математические доказательства переменная x квадратное выражение алгебраические операции 9 класс математика свойства квадратов формулы сокращенного умножения зависимость от переменной Новый

Давайте рассмотрим оба выражения по отдельности и упростим их, чтобы доказать, что результат вычисления не зависит от значения переменной.

Первое выражение: (3x + 8)² - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)²

1. Сначала раскроим скобки в выражении:
• (3x + 8)² = 9x² + 48x + 64
• (3x - 8)² = 9x² - 48x + 64
• Теперь найдем 2(3x + 8)(3x - 8):
• (3x + 8)(3x - 8) = (3x)² - (8)² = 9x² - 64
• Тогда 2(3x + 8)(3x - 8) = 2(9x² - 64) = 18x² - 128
2. Теперь подставим все обратно в выражение:
• 9x² + 48x + 64 - (18x² - 128) + (9x² - 48x + 64)
3. Упрощаем:
• 9x² + 48x + 64 - 18x² + 128 + 9x² - 48x + 64
• Сложим подобные члены:
• (9x² - 18x² + 9x²) + (48x - 48x) + (64 + 128 + 64) = 0 + 0 + 256 = 256

Таким образом, первое выражение упрощается до 256.

Второе выражение: (4x - 7)² + (4x - 11)² + 2(4x - 7)(11 - 4x)

1. Сначала раскроим скобки:
• (4x - 7)² = 16x² - 56x + 49
• (4x - 11)² = 16x² - 88x + 121
• Теперь найдем 2(4x - 7)(11 - 4x):
• (4x - 7)(11 - 4x) = 44x - 16x² - 77 = -16x² + 44x - 77
• Тогда 2(4x - 7)(11 - 4x) = 2(-16x² + 44x - 77) = -32x² + 88x - 154
2. Теперь подставим все обратно в выражение:
• 16x² - 56x + 49 + 16x² - 88x + 121 - 32x² + 88x - 154
3. Упрощаем:
• (16x² + 16x² - 32x²) + (-56x - 88x + 88x) + (49 + 121 - 154)
• Сложим подобные члены:
• 0 + 0 + 16 = 16

Таким образом, второе выражение упрощается до 16.

Вывод: Мы получили, что первое выражение равно 256, а второе выражение равно 16. Это означает, что оба выражения имеют фиксированные значения, которые не зависят от переменной x. Таким образом, мы доказали, что результат вычисления выражений не зависит от значения переменной.