К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсечённых треугольников равны 11, 20, 20. Какой периметр имеет треугольник ABC?

Математика 9 класс Геометрия периметр треугольника ABC касательные к окружности треугольник и окружность задачи по математике геометрия треугольников Новый

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательных к окружности, вписанной в треугольник. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны между собой. Это свойство поможет нам найти периметр треугольника ABC.

Обозначим:

• P1 - периметр треугольника, образованного касательной к окружности из вершины A и двумя другими касательными (в точках касания с окружностью);
• P2 - периметр треугольника, образованного касательной из вершины B;
• P3 - периметр треугольника, образованного касательной из вершины C.

По условию задачи, периметры отсечённых треугольников равны:

• P1 = 11,
• P2 = 20,
• P3 = 20.

Теперь вспомним, что периметр треугольника ABC можно выразить через периметры отсечённых треугольников и длины отрезков, на которые касательные делят стороны треугольника ABC. Обозначим:

• sA - длина касательной из точки A,
• sB - длина касательной из точки B,
• sC - длина касательной из точки C.

Согласно свойству касательных, мы имеем:

• AB = sA + sB,
• BC = sB + sC,
• CA = sC + sA.

Периметр треугольника ABC равен:

Периметр ABC = AB + BC + CA = (sA + sB) + (sB + sC) + (sC + sA) = 2(sA + sB + sC).

Теперь найдем сумму sA, sB и sC. Мы знаем, что:

• sA + sB = P1 = 11,
• sB + sC = P2 = 20,
• sC + sA = P3 = 20.

Теперь можно выразить sA, sB и sC через одну переменную. Например, выразим sA через sB:

sA = 11 - sB.

Теперь подставим это значение в уравнение для sC:

sC + (11 - sB) = 20.

Отсюда:

sC = 20 - (11 - sB) = 9 + sB.

Теперь подставим значение sC в уравнение для sB:

sB + (9 + sB) = 20.

Это уравнение можно упростить:

2sB + 9 = 20.

Решая его, мы получаем:

2sB = 20 - 9 = 11, sB = 11 / 2 = 5.5.

Теперь подставим значение sB обратно, чтобы найти sA и sC:

sA = 11 - 5.5 = 5.5, sC = 9 + 5.5 = 14.5.

Теперь мы можем найти сумму sA, sB и sC:

sA + sB + sC = 5.5 + 5.5 + 14.5 = 25.5.

Теперь подставим это значение в формулу для периметра треугольника ABC:

Периметр ABC = 2(sA + sB + sC) = 2 * 25.5 = 51.

Итак, периметр треугольника ABC равен 51.