Как можно доказать теорему о свойстве диагоналей параллелограмма?

Математика 9 класс Геометрия доказать теорема свойство диагонали параллелограмма математика геометрия доказательства свойства параллелограмма Новый

Давайте рассмотрим теорему о свойствах диагоналей параллелограмма, которая гласит, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит каждую из диагоналей пополам.

Чтобы доказать это свойство, мы воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников. Рассмотрим параллелограмм ABCD, где A и B — верхние углы, а C и D — нижние углы. Обозначим точки пересечения диагоналей AC и BD как точку O.

1. Построение:
   • Нарисуем параллелограмм ABCD.
   • Проведем диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.
2. Свойства параллелограмма:
   • Стороны AB и CD параллельны.
   • Стороны AD и BC параллельны.
   • Стороны AB и AD равны, так как это свойства параллелограмма.
   • Стороны CD и BC также равны.
3. Рассмотрим треугольники:
   • Треугольник AOB и треугольник COD.
   • Треугольник AOD и треугольник BOC.
4. Доказательство равенства треугольников:
   • В треугольниках AOB и COD:
     • AO = OC (поскольку O — точка пересечения диагоналей).
     • BO = OD (также, O — точка пересечения диагоналей).
     • Угол AOB равен углу COD (противоположные углы параллелограмма равны).
   • Таким образом, по признаку равенства треугольников (Сторона-Угол-Сторона) треугольники AOB и COD равны.
5. Аналогично:
   • В треугольниках AOD и BOC:
     • AO = OC (поскольку O — точка пересечения диагоналей).
     • DO = OB (также, O — точка пересечения диагоналей).
     • Угол AOD равен углу BOC (противоположные углы параллелограмма равны).
   • Таким образом, треугольники AOD и BOC также равны по признаку (Сторона-Угол-Сторона).
6. Заключение:
   • Из равенства треугольников AOB и COD следует, что AO = OC.
   • Из равенства треугольников AOD и BOC следует, что DO = OB.

Таким образом, мы доказали, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит каждую из диагоналей пополам. Это и есть свойство диагоналей параллелограмма.