Как можно найти решения для системы неравенств: sin(x) >= 1/2 и cos(x) > 1/2?

Математика 9 класс Системы неравенств решения системы неравенств sin(x) >= 1/2 cos(x) > 1/2 математика 9 класс неравенства тригонометрические функции Новый

Чтобы решить систему неравенств sin(x) >= 1/2 и cos(x) > 1/2, давайте разберем каждое неравенство по отдельности.

1. Решение неравенства sin(x) >= 1/2:

• Мы знаем, что синус равен 1/2 в углах, соответствующих 30 градусам (или π/6 радиан) и 150 градусам (или 5π/6 радиан) в пределах одного полного оборота (0 до 2π).
• Так как мы ищем значения, где синус больше или равен 1/2, нам нужно учитывать промежутки между этими углами.
• Синус положителен в первой и второй четвертях, поэтому неравенство будет выполняться в следующих интервалах:
• [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ], где k - любое целое число.

2. Решение неравенства cos(x) > 1/2:

• Косинус равен 1/2 в углах 60 градусов (или π/3 радиан) и 300 градусов (или 5π/3 радиан) за один полный оборот.
• Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, поэтому неравенство будет выполняться в следующих интервалах:
• (-π/3 + 2kπ, π/3 + 2kπ) и (5π/3 + 2kπ, 7π/3 + 2kπ), где k - любое целое число.

3. Пересечение интервалов:

Теперь нам нужно найти пересечение интервалов, полученных из обоих неравенств:

• Интервал для sin(x) >= 1/2: [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ]
• Интервал для cos(x) > 1/2: (-π/3 + 2kπ, π/3 + 2kπ) и (5π/3 + 2kπ, 7π/3 + 2kπ)

Теперь давайте рассмотрим пересечение этих интервалов для k = 0:

• Для k = 0, у нас есть:
• sin(x) >= 1/2: [π/6, 5π/6]
• cos(x) > 1/2: (-π/3, π/3) и (5π/3, 7π/3)

Пересечение интервалов:

• Первый интервал: [π/6, 5π/6] пересекается с (-π/3, π/3).
• Поскольку π/6 ≈ 0.52 и π/3 ≈ 1.05, то пересечение будет [π/6, π/3].
• Второй интервал: [π/6, 5π/6] не пересекается с (5π/3, 7π/3), так как 5π/6 < 5π/3.

Итак, окончательное решение системы неравенств:

• Решение: x ∈ [π/6 + 2kπ, π/3 + 2kπ], где k - любое целое число.