Как можно определить предел функции, не прибегая к правилу Лопиталя, если известно:

lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x

Математика 9 класс Пределы функций предел функции правило Лопиталя лимит математика 9 класс определение предела функции анализ предела математический анализ Новый

Чтобы определить предел функции lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x, начнем с упрощения выражения внутри предела.

1. Рассмотрим дробь (1 + 2x) / (2x - 1). При больших значениях x, члены 1 и -1 становятся незначительными по сравнению с 2x. Поэтому мы можем упростить дробь:

• (1 + 2x) / (2x - 1) ≈ 2x / 2x = 1, когда x → ∞.

2. Теперь давайте более точно выразим дробь:

• (1 + 2x) / (2x - 1) = (2x(1/2x + 1)) / (2x(1 - 1/2x)) = (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x).

3. Теперь, когда x стремится к бесконечности, 1/2x стремится к 0, и мы можем записать:

• lim (x → ∞) (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x) = 1/1 = 1.

4. Теперь мы можем подставить это значение обратно в предел:

• lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x = lim (x → ∞) (1)^x.

5. Однако, чтобы быть более точными, мы должны учесть, что (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x) стремится к 1, но не является равным 1. Давайте выразим это более точно:

• lim (x → ∞) (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x) = 1 + 1/2x + 1/2x + o(1/x) = 1 + 1/x + o(1/x).

6. Теперь, используя логарифмические свойства, мы можем записать предел в более удобной форме:

• lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x = exp(lim (x → ∞) x * ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x))).

7. Теперь найдем предел x * ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x):

• ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x)) = ln(1 + 1/2x) - ln(1 - 1/2x).
• При малых значениях y, ln(1 + y) ≈ y, поэтому:
• ln(1 + 1/2x) ≈ 1/2x и ln(1 - 1/2x) ≈ -1/2x.

8. Таким образом, мы получаем:

• ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x)) ≈ 1/2x + 1/2x = 1/x.
• Теперь подставим это в предел:
• lim (x → ∞) x * (1/x) = lim (x → ∞) 1 = 1.

9. Таким образом, мы получаем:

• lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x = exp(1) = e.

Ответ: Предел функции равен e.