gif
Портал edu4cash: Что это и как работает?.
gif
Как быстро получить ответ от ИИ.
gif
Как задонатить в Roblox в России в 2024 году.
gif
Обновления на edu4cash – новые награды, улучшенная модерация и эксклюзивные возможности для VIP!.
  • Задать вопрос
  • Назад
  • Главная страница
  • Вопросы
  • Предметы
    • Русский язык
    • Литература
    • Математика
    • Алгебра
    • Геометрия
    • Вероятность и статистика
    • Информатика
    • Окружающий мир
    • География
    • Биология
    • Физика
    • Химия
    • Обществознание
    • История
    • Английский язык
    • Астрономия
    • Физкультура и спорт
    • Психология
    • ОБЖ
    • Немецкий язык
    • Французский язык
    • Право
    • Экономика
    • Другие предметы
    • Музыка
  • Темы
  • Банк
  • Магазин
  • Задания
  • Блог
  • Топ пользователей
  • Контакты
  • VIP статус
  • Пригласи друга
  • Донат
  1. edu4cash
  2. Вопросы
  3. Математика
  4. 9 класс
  5. Как можно определить предел функции, не прибегая к правилу Лопиталя, если известно: lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x
Задать вопрос
Похожие вопросы
  • Каково значение lim 8f(x) при x, стремящемся к минус бесконечности, если известно, что lim f(x)=-3 при x, стремящемся к бесконечности?
  • Какое значение имеет предел lim(x->0) (3x^2 + x) / (x^2 - 2x)?
  • Каков предел выражения (x^5+x^3+x+5)/(2*x^3+x^2+3) при x, стремящемся к бесконечности?
mleannon

2025-03-06 03:10:47

Как можно определить предел функции, не прибегая к правилу Лопиталя, если известно:

lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x

Математика 9 класс Пределы функций предел функции правило Лопиталя лимит математика 9 класс определение предела функции анализ предела математический анализ Новый

Ответить

Born

2025-03-06 03:11:15

Чтобы определить предел функции lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x, начнем с упрощения выражения внутри предела.

1. Рассмотрим дробь (1 + 2x) / (2x - 1). При больших значениях x, члены 1 и -1 становятся незначительными по сравнению с 2x. Поэтому мы можем упростить дробь:

  • (1 + 2x) / (2x - 1) ≈ 2x / 2x = 1, когда x → ∞.

2. Теперь давайте более точно выразим дробь:

  • (1 + 2x) / (2x - 1) = (2x(1/2x + 1)) / (2x(1 - 1/2x)) = (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x).

3. Теперь, когда x стремится к бесконечности, 1/2x стремится к 0, и мы можем записать:

  • lim (x → ∞) (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x) = 1/1 = 1.

4. Теперь мы можем подставить это значение обратно в предел:

  • lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x = lim (x → ∞) (1)^x.

5. Однако, чтобы быть более точными, мы должны учесть, что (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x) стремится к 1, но не является равным 1. Давайте выразим это более точно:

  • lim (x → ∞) (1 + 1/2x) / (1 - 1/2x) = 1 + 1/2x + 1/2x + o(1/x) = 1 + 1/x + o(1/x).

6. Теперь, используя логарифмические свойства, мы можем записать предел в более удобной форме:

  • lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x = exp(lim (x → ∞) x * ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x))).

7. Теперь найдем предел x * ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x):

  • ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x)) = ln(1 + 1/2x) - ln(1 - 1/2x).
  • При малых значениях y, ln(1 + y) ≈ y, поэтому:
  • ln(1 + 1/2x) ≈ 1/2x и ln(1 - 1/2x) ≈ -1/2x.

8. Таким образом, мы получаем:

  • ln((1 + 1/2x) / (1 - 1/2x)) ≈ 1/2x + 1/2x = 1/x.
  • Теперь подставим это в предел:
  • lim (x → ∞) x * (1/x) = lim (x → ∞) 1 = 1.

9. Таким образом, мы получаем:

  • lim (x → ∞) ( (1 + 2x) / (2x - 1) )^x = exp(1) = e.

Ответ: Предел функции равен e.


mleannon ждет твоей помощи!

Ответь на вопрос и получи 43 Б 😉
Ответить

  • Политика в отношении обработки персональных данных
  • Правила использования сервиса edu4cash
  • Правила использования файлов cookie (куки)

Все права сохранены.
Все названия продуктов, компаний и марок, логотипы и товарные знаки являются собственностью соответствующих владельцев.

Copyright 2024 © edu4cash

Получите 500 балов за регистрацию!
Регистрация через ВКонтакте Регистрация через Google

...
Загрузка...
Войти через ВКонтакте Войти через Google Войти через Telegram
Жалоба

Для отправки жалобы необходимо авторизоваться под своим логином, или отправьте жалобу в свободной форме на e-mail [email protected]

  • Карма
  • Ответов
  • Вопросов
  • Баллов
Хочешь донатить в любимые игры или получить стикеры VK бесплатно?

На edu4cash ты можешь зарабатывать баллы, отвечая на вопросы, выполняя задания или приглашая друзей.

Баллы легко обменять на донат, стикеры VK и даже вывести реальные деньги по СБП!

Подробнее