Решение неравенства 2cos(2x) + 4|cos(x)| > 0 можно разбить на несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробнее.

Сначала мы можем упростить неравенство:

• 2cos(2x) + 4|cos(x)| > 0

Разделим все члены на 2 (поскольку 2 > 0, знак неравенства не изменится):

• cos(2x) + 2|cos(x)| > 0

Теперь воспользуемся тождеством для косинуса двойного угла:

• cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Подставим это в наше неравенство:

• 2cos²(x) - 1 + 2|cos(x)| > 0

Соберем все члены в одну сторону:

• 2cos²(x) + 2|cos(x)| - 1 > 0

Обозначим y = cos(x). Тогда неравенство примет вид:

• 2y² + 2|y| - 1 > 0

Поскольку |y| может принимать два значения (y и -y),рассмотрим два случая:

• Неравенство становится: 2y² + 2y - 1 > 0

Решим это неравенство. Найдем корни уравнения 2y² + 2y - 1 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 2² - 4*2*(-1) = 4 + 8 = 12
• Корни: y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)
• y1 = (−2 + 2sqrt(3)) / 4 = (−1 + sqrt(3)) / 2
• y2 = (−2 - 2sqrt(3)) / 4 = (−1 - sqrt(3)) / 2

Теперь определим, при каких значениях y неравенство выполняется. Мы знаем, что парабола открыта вверх.

• Неравенство становится: 2y² - 2y - 1 > 0

Аналогично, находим корни этого уравнения:

• D = (-2)² - 4*2*(-1) = 4 + 8 = 12
• Корни: y1 = (2 + 2sqrt(3)) / 4 = (1 + sqrt(3)) / 2
• y2 = (2 - 2sqrt(3)) / 4 = (1 - sqrt(3)) / 2

Теперь, зная корни, можно определить промежутки, где неравенство выполняется. Необходимо проверить знаки на промежутках, образованных корнями.

После этого, возвращаясь к переменной y = cos(x),определяем, какие значения x соответствуют найденным промежуткам.

В зависимости от промежутков, полученных для y, мы можем записать окончательное решение для x, учитывая, что cos(x) принимает значения в диапазоне [-1, 1].

Таким образом, итоговое решение неравенства 2cos(2x) + 4|cos(x)| > 0 будет представлять собой объединение всех промежутков, удовлетворяющих данному неравенству.