Как решить неравенство cos²(x/2) - sin²(x/2) < корень(3)/2?

Математика 9 класс Неравенства тригонометрических функций неравенство cos²(x/2) sin²(x/2) корень(3)/2 решение неравенств тригонометрические функции математика 9 класс Новый

Для решения неравенства cos²(x/2) - sin²(x/2) < корень(3)/2, начнем с преобразования левой части неравенства.

Мы знаем, что cos²(a) - sin²(a) можно выразить через косинус двойного угла:

cos²(a) - sin²(a) = cos(2a)

Таким образом, мы можем переписать неравенство:

cos(x) < корень(3)/2

Теперь нам нужно найти, при каких значениях x это неравенство выполняется. Для этого вспомним, что значение корень(3)/2 соответствует углам в тригонометрии.

Косинус равен корень(3)/2 в следующих точках:

• x = 30° + 360°n, где n - любое целое число (в радианах: x = π/6 + 2πn)
• x = 330° + 360°n, где n - любое целое число (в радианах: x = 11π/6 + 2πn)

Теперь найдем промежутки, где cos(x) меньше корень(3)/2. Мы знаем, что косинус - это периодическая функция, и его значения колеблются от -1 до 1. Рассмотрим, где косинус меньше корень(3)/2:

Это происходит в интервалах:

• от 30° до 330° (или от π/6 до 11π/6)

Таким образом, на каждом периоде 360° (или 2π радиан) решение будет выглядеть следующим образом:

x ∈ (π/6 + 2πn, 11π/6 + 2πn), где n - любое целое число.

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

x ∈ (π/6 + 2πn, 11π/6 + 2πn), n ∈ Z.