Как можно решить неравенство (3x + 4)/(x + 1) <= 2?

Математика 9 класс Неравенства решение неравенства неравенство (3x + 4)/(x + 1) <= 2 математика 9 класс алгебра как решить неравенство Новый

Решение неравенства (3x + 4)/(x + 1) требует выполнения нескольких шагов. Давайте разберем процесс пошагово.

Шаг 1: Определение области определения

Сначала нужно понять, при каких значениях x выражение (3x + 4)/(x + 1) будет определено. Мы видим, что дробь не определена, когда знаменатель равен нулю. Поэтому находим, когда x + 1 = 0:

• x + 1 = 0
• x = -1

Таким образом, x не может быть равным -1.

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь мы можем решить неравенство. Для этого сначала преобразуем его в более удобный вид. Мы хотим найти, когда (3x + 4)/(x + 1) > 0. Для этого рассмотрим числитель и знаменатель:

Шаг 3: Знаменатель и числитель

Неравенство (3x + 4)/(x + 1) > 0 будет выполняться, когда:

• Оба числитель и знаменатель положительны, или
• Оба числитель и знаменатель отрицательны.

Шаг 4: Анализ знаков

Теперь найдем, при каких значениях x числитель и знаменатель меняют свой знак:

• Числитель: 3x + 4 = 0, отсюда x = -4.
• Знаменатель: x + 1 = 0, отсюда x = -1.

Шаг 5: Построение интервалов

Мы имеем три критических точки: -4 и -1. Теперь мы можем разделить числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -4)
• (-4, -1)
• (-1, +∞)

Шаг 6: Определение знаков на интервалах

Теперь проверим знак выражения (3x + 4)/(x + 1) на каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, -4): выберем x = -5.
   • 3(-5) + 4 = -15 + 4 = -11 (отрицательный)
   • -5 + 1 = -4 (отрицательный)
   • Итак, (-11)/(-4) > 0 (положительный).
2. Для интервала (-4, -1): выберем x = -2.
   • 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2 (отрицательный)
   • -2 + 1 = -1 (отрицательный)
   • Итак, (-2)/(-1) > 0 (положительный).
3. Для интервала (-1, +∞): выберем x = 0.
   • 3(0) + 4 = 4 (положительный)
   • 0 + 1 = 1 (положительный)
   • Итак, 4/1 > 0 (положительный).

Шаг 7: Запись решения

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-∞, -4) выражение положительно.
• На интервале (-4, -1) выражение положительно.
• На интервале (-1, +∞) выражение положительно.

Однако, в точке x = -1 выражение не определено, поэтому мы не можем включить этот интервал в решение.

Ответ:

Неравенство (3x + 4)/(x + 1) > 0 выполняется для интервалов:

x ∈ (-∞, -4) ∪ (-4, -1) ∪ (-1, +∞).