Чтобы решить неравенство -x^2 + x ≥ 0, следуем следующим шагам:

1. Перепишем неравенство: Сначала мы можем привести его к более привычному виду. Умножим обе стороны неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
• -x^2 + x ≥ 0 => x^2 - x ≤ 0
2. Факторизуем левую часть: Теперь мы можем разложить левую часть неравенства на множители:
• x^2 - x = x(x - 1)
3. Записываем неравенство в факторизованном виде:
• x(x - 1) ≤ 0
4. Находим корни: Теперь найдем корни уравнения x(x - 1) = 0. Это будет:
• x = 0
• x - 1 = 0 => x = 1
5. Определяем интервалы: У нас есть два корня: x = 0 и x = 1. Теперь мы можем разбить числовую ось на три интервала:
• (-∞, 0)
• (0, 1)
• (1, +∞)
6. Тестируем интервалы: Теперь проверим знак выражения x(x - 1) на каждом из этих интервалов.
• Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1. Тогда: (-1)(-1 - 1) = (-1)(-2) = 2 > 0.
• Для интервала (0, 1): выберем x = 0.5. Тогда: (0.5)(0.5 - 1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0.
• Для интервала (1, +∞): выберем x = 2. Тогда: (2)(2 - 1) = (2)(1) = 2 > 0.
7. Собираем результаты: Мы видим, что:
   • На интервале (-∞, 0) значение положительное.
   • На интервале (0, 1) значение отрицательное.
   • На интервале (1, +∞) значение положительное.
8. Учитываем корни: Поскольку мы решаем неравенство x(x - 1) ≤ 0, то нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это включает корни 0 и 1, где выражение равно нулю.
9. Записываем ответ: Таким образом, решение неравенства -x^2 + x ≥ 0 будет:
• x ∈ [0, 1]

Ответ: x принадлежит отрезку [0, 1].