Как найти решение неравенства (x ^ 2 + 5x + 6)(x ^ 4 - x^ 3 - 6x^ 2) < 0?

Математика 9 класс Неравенства решение неравенства неравенство математика x^2 + 5x + 6 x^4 - x^3 - 6x^2 математические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство (x ^ 2 + 5x + 6)(x ^ 4 - x^ 3 - 6x^ 2) < 0, нам нужно сначала проанализировать каждую из скобок по отдельности и найти их корни.

Шаг 1: Найдем корни первого множителя x ^ 2 + 5x + 6.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 5, c = 6.
• D = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Поскольку D > 0, у нас есть два различных корня:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-5 + 1) / 2 = -2;
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-5 - 1) / 2 = -3.

Шаг 2: Найдем корни второго множителя x ^ 4 - x^ 3 - 6x^ 2.

Для этого упростим выражение:

• Вынесем x^2: x^2(x^2 - x - 6).

Теперь решим уравнение x^2 - x - 6 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.

Поскольку D > 0, у нас есть два корня:

• x3 = (1 + 5) / 2 = 3;
• x4 = (1 - 5) / 2 = -2.

Таким образом, корни второго множителя: x = 0 (из x^2) и x = -2, x = 3.

Шаг 3: Соберем все корни вместе.

Теперь у нас есть следующие корни:

• x = -3 (из первого множителя);
• x = -2 (из первого и второго множителей);
• x = 0 (из второго множителя);
• x = 3 (из второго множителя).

Шаг 4: Определим интервалы.

Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -3);
• (-3, -2);
• (-2, 0);
• (0, 3);
• (3, +∞).

Шаг 5: Проверим знаки на каждом интервале.

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (x ^ 2 + 5x + 6)(x ^ 4 - x^ 3 - 6x^ 2):

• Для интервала (-∞, -3), например, x = -4: (16 - 20 + 6)(256 + 64 + 96) > 0;
• Для интервала (-3, -2), например, x = -2.5: (6.25 - 12.5 + 6)(39.0625 + 12.5 + 37.5) < 0;
• Для интервала (-2, 0), например, x = -1: (1 - 5 + 6)(1 + 1 + 6) > 0;
• Для интервала (0, 3), например, x = 1: (1 + 5 + 6)(1 - 1 - 6) < 0;
• Для интервала (3, +∞), например, x = 4: (16 + 20 + 6)(256 - 64 - 96) > 0.

Шаг 6: Составим ответ.

Неравенство (x ^ 2 + 5x + 6)(x ^ 4 - x^ 3 - 6x^ 2) < 0 выполняется на интервалах:

• (-3, -2) и (0, 3).

Таким образом, окончательный ответ: x ∈ (-3, -2) ∪ (0, 3).