Как построить прямую, которая проходит через точку A и перпендикулярна плоскости BB1D, если основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадратом ABCD?

Также, как выполнить это построение и провести его доказательство?

Математика 9 класс Геометрия построение прямой точка A перпендикулярная плоскость прямоугольный параллелепипед квадрат ABCD доказательство построения Новый

Чтобы построить прямую, которая проходит через точку A и перпендикулярна плоскости BB1D, необходимо следовать определенной последовательности шагов. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

Шаги построения:

1. Определите координаты точек:
   • Точка A (0, 0, 0) - одна из вершин основания ABCD.
   • Точки B (1, 0, 0), B1 (1, 0, 1) и D (0, 1, 0) - другие вершины параллелепипеда.
2. Определите плоскость BB1D:
   • Плоскость BB1D образована тремя точками: B, B1 и D.
3. Найдите нормальный вектор к плоскости:
   • Для определения нормального вектора к плоскости BB1D, нужно взять два вектора, лежащих в этой плоскости:
   • Вектор BB1: B1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1).
   • Вектор BD: D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0).
   • Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор:
   • n = BB1 × BD.
4. Постройте перпендикулярную прямую:
   • Перпендикулярная прямая к плоскости BB1D, проходящая через точку A, будет иметь направление нормального вектора n.
   • Эта прямая может быть задана параметрическим уравнением: P(t) = A + t * n, где t - параметр.

Доказательство:

Теперь давайте проведем доказательство того, что прямая, построенная в предыдущих шагах, перпендикулярна плоскости BB1D.

1. Определение перпендикулярности:
   • Прямая перпендикулярна плоскости, если нормальный вектор плоскости является параллельным вектору, направляющему прямую.
2. Сравнение векторов:
   • Мы нашли нормальный вектор n к плоскости BB1D.
   • Прямая, проходящая через точку A, имеет направление, совпадающее с нормальным вектором n.
3. Заключение:
   • Таким образом, прямая, проходящая через точку A и направленная вдоль нормального вектора n, перпендикулярна плоскости BB1D.

Следуя этим шагам, вы сможете построить требуемую прямую и убедиться в ее перпендикулярности к плоскости BB1D. Это важный навык в геометрии, который поможет вам в дальнейшем изучении пространственных фигур.