Как решить систему неравенств:

1. a) x² - x - 2 ≤ 0, x > 0;
2. б) 2x² - 5x + 2 > 0, x - 2 ≥ 0.

Математика 9 класс Системы неравенств решение системы неравенств неравенства математика 9 класс как решить неравенства математические неравенства система неравенств примеры Новый

Давайте решим каждую из систем неравенств по очереди.

а) x² - x - 2 ≤ 0, x > 0

1. Сначала решим неравенство x² - x - 2 ≤ 0. Для этого найдем корни соответствующего уравнения x² - x - 2 = 0. Используем формулу корней квадратного уравнения:
• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
• Корни: x₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2 и x₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1.
2. Теперь у нас есть корни x₁ = 2 и x₂ = -1. На числовой прямой они делят её на три интервала: (-∞, -1), (-1, 2) и (2, +∞).
3. Теперь мы проверим знак выражения x² - x - 2 в каждом из этих интервалов:
• Для интервала (-∞, -1): выберем, например, x = -2. Подставляем: (-2)² - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (положительное).
• Для интервала (-1, 2): выберем, например, x = 0. Подставляем: 0² - 0 - 2 = -2 (отрицательное).
• Для интервала (2, +∞): выберем, например, x = 3. Подставляем: 3² - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительное).
4. Таким образом, знак выражения x² - x - 2 ≤ 0 отрицательный на интервале (-1, 2].
5. Не забываем, что у нас есть условие x > 0. Поэтому окончательное решение: x ∈ (0, 2].

б) 2x² - 5x + 2 > 0, x - 2 ≥ 0

1. Сначала решим неравенство 2x² - 5x + 2 > 0. Найдем корни уравнения 2x² - 5x + 2 = 0:
• Дискриминант D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.
• Корни: x₁ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2 и x₂ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 0.5.
2. Корни x₁ = 2 и x₂ = 0.5 делят числовую прямую на три интервала: (-∞, 0.5), (0.5, 2) и (2, +∞).
3. Теперь проверим знак выражения 2x² - 5x + 2 в каждом из этих интервалов:
• Для интервала (-∞, 0.5): выберем, например, x = 0. Подставляем: 2(0)² - 5(0) + 2 = 2 (положительное).
• Для интервала (0.5, 2): выберем, например, x = 1. Подставляем: 2(1)² - 5(1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 (отрицательное).
• Для интервала (2, +∞): выберем, например, x = 3. Подставляем: 2(3)² - 5(3) + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 (положительное).
4. Таким образом, 2x² - 5x + 2 > 0 на интервалах (-∞, 0.5) и (2, +∞).
5. Теперь учтем второе неравенство x - 2 ≥ 0, которое дает нам x ≥ 2.
6. Таким образом, окончательное решение для второй системы: x ∈ [2, +∞).

В итоге, мы получили следующие решения:

• а) x ∈ (0, 2];
• б) x ∈ [2, +∞).