Как решить следующие неравенства?

1. -2x² + x + 1 ≤ 0
2. 4x² - 4x + 1 ≤ 0
3. 2x² - 6x + 5 < 0
4. 6 > x²

Математика 9 класс Неравенства неравенства решение неравенств математика 9 класс Квадратные неравенства методы решения неравенств

Вот решения для данных неравенств:

1. -2x² + x + 1 ≤ 0
   • Корни: x = -1/2, x = 1
   • Решение: [-1/2, 1]
2. 4x² - 4x + 1 ≤ 0
   • Корни: x = 1/2 (двойной корень)
   • Решение: {1/2}
3. 2x² - 6x + 5 < 0
   • Корни: x = 1, x = 5
   • Решение: (1, 5)
4. 6 > x²
   • Решение: (-√6, √6)

Давайте разберем каждое неравенство по отдельности и найдем его решение. Начнем с первого неравенства.

1. Неравенство: -2x² + x + 1 ≤ 0

Сначала преобразуем его в стандартный вид:

• Умножим на -1 (не забудьте поменять знак неравенства):
• 2x² - x - 1 ≥ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 2x² - x - 1 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
• Корни: x1 = (1 + √9) / (2 * 2) = 1/4 и x2 = (1 - √9) / (2 * 2) = -1/2.

Теперь определяем знаки функции 2x² - x - 1 на интервалах, разделенных корнями:

• Интервалы: (-∞, -1/2), (-1/2, 1/4), (1/4, +∞).
• Проверим знаки на этих интервалах:
• На (-∞, -1/2): выбираем, например, x = -1 → 2(-1)² - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 (положительное).
• На (-1/2, 1/4): выбираем x = 0 → 2(0)² - 0 - 1 = -1 (отрицательное).
• На (1/4, +∞): выбираем x = 1 → 2(1)² - 1 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0 (ноль).

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: x ≤ -1/2 и x ≥ 1/4.

2. Неравенство: 4x² - 4x + 1 ≤ 0

Это квадратное уравнение можно решить аналогично:

• Дискриминант D = (-4)² - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0.
• Корень: x = 4 / (2 * 4) = 1/2.

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень. Проверяем знак функции:

• 4x² - 4x + 1 = 0 при x = 1/2.
• Функция не меняет знак, и неравенство выполняется только при x = 1/2.

3. Неравенство: 2x² - 6x + 5 < 0

Сначала находим корни:

• D = (-6)² - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4 (дискриминант отрицательный).
• Это значит, что парабола не пересекает ось x и всегда положительна.

Следовательно, неравенство 2x² - 6x + 5 < 0 не имеет решений.

4. Неравенство: 6 > x²

Это неравенство можно переписать как x² < 6. Извлекаем корень:

• -√6 < x < √6.

Таким образом, решение этого неравенства: x ∈ (-√6, √6).

В итоге, у нас есть следующие решения:

• -2x² + x + 1 ≤ 0: x ≤ -1/2 или x ≥ 1/4;
• 4x² - 4x + 1 ≤ 0: x = 1/2;
• 2x² - 6x + 5 < 0: нет решений;
• 6 > x²: x ∈ (-√6, √6).