Как решить задачу, в которой даны точки A(0;4), B(4;2), C(2;-2) и D(-2;0)? Нужно записать уравнение окружности, проходящей через точки A и B, выяснить, как расположены окружность и точки C и D, записать уравнение прямой AC и доказать, что ABCD является квадратом.

Математика 9 класс Геометрия решение задачи окружность уравнение окружности точки A B C D расположение окружности прямая AC доказательство квадрата 9 класс математика Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем уравнение окружности, проходящей через точки A и B.

Уравнение окружности имеет вид:

(x - h)² + (y - k)² = r²,

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус.

Для начала найдем центр окружности, который будет находиться на середине отрезка AB. Координаты середины отрезка можно найти по формуле:

M = ((x1 + x2) / 2; (y1 + y2) / 2).

Подставим координаты точек A(0; 4) и B(4; 2):

• x1 = 0, y1 = 4
• x2 = 4, y2 = 2

M = ((0 + 4) / 2; (4 + 2) / 2) = (2; 3).

Теперь найдем радиус окружности, который равен расстоянию от центра M до одной из точек, например, до точки A. Расстояние между двумя точками можно найти по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставим координаты M(2; 3) и A(0; 4):

d = √((2 - 0)² + (3 - 4)²) = √(4 + 1) = √5.

Теперь мы можем записать уравнение окружности:

(x - 2)² + (y - 3)² = 5.

Шаг 2: Выясним, как расположены окружность и точки C и D.

Теперь подставим координаты точки C(2; -2) в уравнение окружности:

(2 - 2)² + (-2 - 3)² = 5.

0 + 25 = 5 (ложь).

Таким образом, точка C не лежит на окружности.

Теперь проверим точку D(-2; 0):

(-2 - 2)² + (0 - 3)² = 5.

16 + 9 = 5 (ложь).

Следовательно, точка D также не лежит на окружности.

Шаг 3: Запишем уравнение прямой AC.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используем формулу:

y - y1 = m(x - x1),

где m - угловой коэффициент, который можно найти как:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Подставим координаты точек A(0; 4) и C(2; -2):

• x1 = 0, y1 = 4
• x2 = 2, y2 = -2

m = (-2 - 4) / (2 - 0) = -6 / 2 = -3.

Теперь подставим m и координаты одной из точек, например, A:

y - 4 = -3(x - 0),

y - 4 = -3x,

y = -3x + 4.

Шаг 4: Доказать, что ABCD является квадратом.

Чтобы доказать, что ABCD является квадратом, нужно проверить следующие условия:

1. Все стороны равны.
2. Диагонали равны и пересекаются под прямым углом.

Сначала найдем длины сторон:

• AB = √((4 - 0)² + (2 - 4)²) = √(16 + 4) = √20.
• BC = √((2 - 4)² + (-2 - 2)²) = √(4 + 16) = √20.
• CD = √((-2 - 2)² + (0 - (-2))²) = √(16 + 4) = √20.
• DA = √((0 - (-2))² + (4 - 0)²) = √(4 + 16) = √20.

Все стороны равны: AB = BC = CD = DA = √20.

Теперь найдем длины диагоналей:

• AC = √((2 - 0)² + (-2 - 4)²) = √(4 + 36) = √40.
• BD = √((-2 - 4)² + (0 - 2)²) = √(36 + 4) = √40.

Диагонали равны: AC = BD = √40.

Теперь нужно проверить перпендикулярность диагоналей. Угловые коэффициенты AC и BD:

• Угловой коэффициент AC: m1 = (-2 - 4) / (2 - 0) = -6 / 2 = -3.
• Угловой коэффициент BD: m2 = (0 - 2) / (-2 - 4) = -2 / -6 = 1/3.

Произведение угловых коэффициентов:

m1 * m2 = -3 * (1/3) = -1 (углы перпендикулярны).

Таким образом, ABCD является квадратом.