Какое геометрическое место образуют середины отрезков, концы которых находятся на полуокружности?

Математика 9 класс Геометрическое место точек геометрическое место середины отрезков полуокружность свойства полуокружности математика геометрия Новый

Для определения геометрического места, образуемого серединами отрезков, концы которых находятся на полуокружности, необходимо провести несколько шагов анализа.

1. Определение полуокружности: Полуокружность — это половина окружности, ограниченная диаметром. Пусть у нас есть полуокружность с центром O и диаметром AB.
2. Выбор произвольных точек: Рассмотрим две произвольные точки P и Q на полуокружности, которые являются концами отрезка PQ.
3. Нахождение середины отрезка: Середина отрезка PQ обозначается как M. Координаты точки M можно выразить как средние значения координат точек P и Q.
4. Анализ координат: Если мы поместим полуокружность в систему координат, где O находится в начале координат, а AB — на оси X, то любые точки P и Q на полуокружности могут быть записаны в виде:
   • P(x1, y1)
   • Q(x2, y2)
5. Формула для середины: Середина M будет иметь координаты:
   • M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
6. Условия для M: Поскольку P и Q находятся на полуокружности, их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Это означает, что y1 и y2 будут положительными (так как полуокружность находится выше оси X). Следовательно, координаты M будут также удовлетворять определённым условиям.
7. Геометрическое место: При изменении положения точек P и Q на полуокружности, точки M будут описывать определённую фигуру. В результате анализа можно установить, что все такие точки M будут находиться на другой окружности, имеющей радиус, равный половине радиуса исходной полуокружности, и центром на середине отрезка AB.

Таким образом, геометрическое место, образуемое серединами отрезков, концы которых находятся на полуокружности, является окружностью, радиус которой равен половине радиуса данной полуокружности, и её центр расположен на линии, соединяющей концы диаметра.