Чтобы найти наибольшее число, которое при делении на 111 дает одинаковое частное и остаток, давайте обозначим это число через x.

При делении числа x на 111, мы можем записать это в виде:

x = 111 * q + r

где q — это частное, а r — остаток. По определению деления, остаток r должен быть меньше делителя, то есть 0 ≤ r < 111.

Условие задачи гласит, что частное и остаток равны, то есть q = r. Подставим r в уравнение:

x = 111 * q + q

Теперь упростим это уравнение:

x = q * (111 + 1)

или

x = q * 112

Теперь нам нужно найти наибольшее значение x, которое будет меньше 111, так как r должен быть меньше 111. Таким образом, мы можем записать неравенство:

q * 112 < 111

Теперь решим это неравенство для q:

1. Разделим обе стороны неравенства на 112:
2. q < 111 / 112
3. Так как 111 / 112 < 1, то q может принимать только целые значения.

Таким образом, максимальное целое значение для q — это 0, так как 1 уже не удовлетворяет условию. Теперь подставим q = 0 обратно в формулу для x:

x = 0 * 112 = 0

Однако, чтобы найти наибольшее число, давайте рассмотрим q = 1:

x = 1 * 112 = 112

Теперь проверим, удовлетворяет ли 112 условию задачи:

При делении 112 на 111:

1. Частное: 1
2. Остаток: 1

Частное и остаток равны, и это число действительно больше 111.

Таким образом, наибольшее число, которое при делении на 111 дает одинаковое частное и остаток, равно 112.