Какое наименьшее значение может принимать выражение: 4a² + 9b² + 4a - 6b + 6?

Математика 9 класс Квадратичные функции наименьшее значение выражение 4a² + 9b² 4a -6b 6 математика 9 класс Новый

Чтобы найти наименьшее значение выражения 4a² + 9b² + 4a - 6b + 6, мы можем использовать метод completing the square (завершение квадрата) для переменных a и b.

Давайте начнем с упрощения выражения по переменной a:

1. Сначала выделим полный квадрат для членов, содержащих a:
• 4a² + 4a = 4(a² + a).
• Теперь добавим и вычтем (1/2)² внутри скобок: 4(a² + a + (1/2)² - (1/2)²).
• Это можно записать как: 4((a + 1/2)² - 1/4) = 4(a + 1/2)² - 1.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

4(a + 1/2)² - 1 + 9b² - 6b + 6.

Теперь у нас есть выражение:

4(a + 1/2)² + 9b² - 6b + 5.

Теперь давайте упростим часть, содержащую b:

1. Выделим полный квадрат для членов, содержащих b:
• 9b² - 6b = 9(b² - (2/3)b).
• Добавим и вычтем (1/3)²: 9(b² - (2/3)b + (1/3)² - (1/3)²).
• Это можно записать как: 9((b - 1/3)² - 1/9) = 9(b - 1/3)² - 1.

Теперь подставим это обратно:

4(a + 1/2)² + 9(b - 1/3)² - 1 + 5.

Теперь у нас есть:

4(a + 1/2)² + 9(b - 1/3)² + 4.

Теперь, чтобы найти наименьшее значение всего выражения, заметим, что оба квадрата (4(a + 1/2)² и 9(b - 1/3)²) всегда неотрицательны. Их минимальные значения равны нулю, когда:

• a + 1/2 = 0, что дает a = -1/2;
• b - 1/3 = 0, что дает b = 1/3.

Таким образом, наименьшее значение выражения достигается, когда a = -1/2 и b = 1/3:

Минимальное значение = 0 + 0 + 4 = 4.

Ответ: Наименьшее значение выражения 4a² + 9b² + 4a - 6b + 6 равно 4.