Чтобы найти площадь квадрата со стороной AC, нам нужно сначала понять, что происходит в данной задаче. У нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC. Полуокружность с центром O касается катетов AB и BC.

Также нам дано, что отрезок BO делит площадь треугольника на две части: одну с площадью 24 см² и другую с площадью 36 см². Сначала найдем общую площадь треугольника ABC:

• Общая площадь треугольника ABC = 24 см² + 36 см² = 60 см².

Теперь, чтобы найти сторону AC, мы воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основанием будет один из катетов (например, AB),а высотой - другой катет (например, BC). Поскольку мы не знаем длины катетов, но знаем, что площадь равна 60 см², мы можем записать:

60 = (1/2) * AB * BC

Таким образом, мы имеем:

AB * BC = 120

Теперь мы можем использовать свойства треугольника и отношение его сторон. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

AC² = AB² + BC²

Теперь, чтобы выразить площадь квадрата со стороной AC, нам нужно найти AC. Для этого мы можем использовать соотношение между площадью и сторонами:

Пусть AB = x и BC = y. Тогда:

• x * y = 120
• AC² = x² + y²

Мы можем выразить y через x:

y = 120/x

Теперь подставим это значение в формулу для AC:

AC² = x² + (120/x)²

После упрощения получим:

AC² = x² + 14400/x²

Теперь, чтобы найти минимальное значение AC², можно воспользоваться производной или подставить различные значения x и найти соответствующее значение AC. Однако, для упрощения мы можем сделать вывод, что:

Площадь квадрата со стороной AC будет равна:

Площадь квадрата = AC²

Мы знаем, что AC² будет равно 120 см², так как это максимальная площадь, которую мы можем получить из данной информации.

Таким образом, площадь квадрата со стороной AC равна:

Площадь квадрата = 60 см²

Итак, ответ на ваш вопрос: площадь квадрата со стороной AC равна 60 см².