Какой площади будет прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см, если его катеты вместе с гипотенузой образуют арифметическую прогрессию? Также нужно найти радиус вписанной в него окружности.

Математика 9 класс Геометрия площадь прямоугольного треугольника гипотенуза 6 см катеты арифметическая прогрессия радиус вписанной окружности Новый

Для решения задачи начнем с понимания условий. У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см, а его катеты (обозначим их как a и b) образуют арифметическую прогрессию вместе с гипотенузой.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. В нашем случае, если гипотенуза равна 6 см, то можно записать:

• Первый член (катет a) = x
• Второй член (катет b) = x + d
• Третий член (гипотенуза) = x + 2d = 6

Теперь мы можем выразить d через x:

x + 2d = 6
=> 2d = 6 - x
=> d = (6 - x) / 2

Теперь подставим d в выражение для b:

b = x + d = x + (6 - x) / 2 = x + 3 - x / 2 = 3 + x / 2

Теперь у нас есть два катета: a = x и b = 3 + x / 2. Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора:

a² + b² = c², где c - гипотенуза.

Подставим наши значения:

x² + (3 + x / 2)² = 6²

Раскроем квадрат:

x² + (3² + 2 * 3 * (x / 2) + (x / 2)²) = 36

x² + (9 + 3x + x² / 4) = 36

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

4x² + (36 + 12x + x²) = 144

5x² + 12x - 108 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 12² - 4 * 5 * (-108) = 144 + 2160 = 2304

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a) = (-12 ± √2304) / 10

√2304 = 48, следовательно:

x = (-12 ± 48) / 10

Это дает два значения:

• x1 = (36) / 10 = 3.6
• x2 = (-60) / 10 = -6 (отрицательное значение не подходит)

Теперь подставим x = 3.6 для нахождения катета b:

b = 3 + x / 2 = 3 + 3.6 / 2 = 3 + 1.8 = 4.8

Теперь у нас есть катеты a = 3.6 см и b = 4.8 см.

Теперь можем найти площадь треугольника:

Площадь S = (a * b) / 2 = (3.6 * 4.8) / 2 = 17.28 / 2 = 8.64 см².

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Формула для радиуса вписанной окружности r в прямоугольном треугольнике:

r = (a + b - c) / 2, где c - гипотенуза.

Подставим значения:

r = (3.6 + 4.8 - 6) / 2 = (8.4 - 6) / 2 = 2.4 / 2 = 1.2 см.

Ответ:

• Площадь треугольника: 8.64 см²
• Радиус вписанной окружности: 1.2 см