На доске записаны одинаковые числа: 2024, 2024, …, 2024 – всего 2024 числа. На первом шаге стираются любые два числа x и y и вместо них записывается число (x y)/4. Эта процедура повторяется 2023 раза, после чего на доске остаётся только одно число z. Докажите, что z...

Математика 9 класс Системы уравнений и свойства операций с числами математика 9 класс задача на доказательство числа 2024 Арифметические операции последовательность действий свойства чисел финальное число математическая индукция Новый

Давайте разберемся с этой увлекательной задачей! У нас есть 2024 числа, каждое из которых равно 2024. Мы будем поочередно заменять два числа на новое число, полученное по формуле (x * y) / 4. Давайте посмотрим, что происходит с суммой всех чисел на доске.

Шаги, которые мы предпримем:

1. Сначала, заметим, что при каждом шаге мы берем два числа x и y и заменяем их на (x * y) / 4.
2. Теперь давайте рассмотрим, как изменяется сумма чисел на доске. Если у нас есть два числа x и y, то их сумма S = x + y. После замены на (x * y) / 4, новая сумма будет S' = S - x - y + (x * y) / 4.
3. Подставим x = y = 2024 (так как все числа одинаковы):
4. Тогда S' = 2024 + 2024 - 2024 - 2024 + (2024 * 2024) / 4.
5. Упрощая, мы получаем S' = (2024 * 2024) / 4.

Таким образом, при каждом шаге сумма чисел на доске уменьшается, но мы можем заметить, что она всегда остается кратной 2024. Это важно!

Теперь давайте посмотрим, что происходит после 2023 шагов:

1. После 2023 шагов у нас останется только одно число z.
2. Мы можем предположить, что это число также будет кратно 2024, так как сумма чисел на каждом шаге оставалась кратной 2024.

Итак, мы можем сделать вывод:

После завершения всех шагов, на доске останется число z, которое также будет кратно 2024. Это означает, что z = 2024 / 4 = 506.

Таким образом, мы доказали, что z будет равным 506! Это замечательное открытие показывает, как математика может быть интересной и увлекательной!