На рисунке в прямоугольный треугольник КМN вписана окружность с центром О, касающаяся катетов в точках А и В. Если N=4, найдите длину гипотенузы, если AN=3, а BK=2.

Математика 9 класс Геометрия прямоугольный треугольник окружность длина гипотенузы катеты точки касания задачи по математике геометрия треугольники Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник КМN, в который вписана окружность с центром О. Окружность касается катетов в точках A и B. Дано, что:

• N = 4 (длина катета NM)
• AN = 3
• BK = 2

Сначала определим длины катетов. Известно, что:

• AN = 3, значит, отрезок AM = AN = 3.
• BK = 2, значит, отрезок BM = BK = 2.

Теперь мы можем найти длины катетов:

• Катет KM равен AM + AK. Поскольку AK = AN = 3, то KM = 3 + 2 = 5.
• Катет KN равен BN + BK. Поскольку BN = 4, то KN = 4 + 2 = 6.

Теперь у нас есть длины катетов:

• KM = 5
• KN = 6

Теперь мы можем найти длину гипотенузы КN, используя теорему Пифагора:

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

(гипотенуза)^2 = (катет1)^2 + (катет2)^2

Подставим известные значения:

KN^2 = KM^2 + NM^2

Подставим длины катетов:

KN^2 = 5^2 + 4^2

Теперь посчитаем:

• 5^2 = 25
• 4^2 = 16
• 25 + 16 = 41

Теперь найдем длину гипотенузы:

KN = √41

Таким образом, длина гипотенузы КN равна √41.