Решим неравенство x^4 - 5x^2|x-2| > 0 и найдем его целые решения. Начнем с анализа выражения.

Неравенство можно рассмотреть в двух случаях, в зависимости от значения выражения |x-2|:

• Случай 1: x - 2 >= 0 (то есть x >= 2). В этом случае |x-2| = x - 2. Неравенство примет вид:
• x^4 - 5x^2(x - 2) > 0
• Случай 2: x - 2 < 0 (то есть x < 2). В этом случае |x-2| = -(x - 2) = 2 - x. Неравенство примет вид:
• x^4 - 5x^2(2 - x) > 0

Теперь решим каждое из этих неравенств по отдельности.

Подставим |x-2| в неравенство:

• x^4 - 5x^2(x - 2) > 0
• x^4 - 5x^3 + 10x^2 > 0

Для нахождения корней этого многочлена, попробуем найти его производную и исследовать поведение функции:

• f(x) = x^4 - 5x^3 + 10x^2
• f'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 20x

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 4x^3 - 15x^2 + 20x = 0
• x(4x^2 - 15x + 20) = 0

Корень x = 0. Для второго множителя решим квадратное уравнение:

• 4x^2 - 15x + 20 = 0

Дискриминант D = (-15)^2 - 4 * 4 * 20 = 225 - 320 = -95 (отрицательный), следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, функция f(x) не имеет других корней, кроме x = 0 и всегда положительна для x >= 2.

Подставим |x-2| в неравенство:

• x^4 - 5x^2(2 - x) > 0
• x^4 + 5x^3 - 10x^2 > 0

Аналогично, найдем производную:

• g(x) = x^4 + 5x^3 - 10x^2
• g'(x) = 4x^3 + 15x^2 - 20x

Приравняем производную к нулю:

• 4x^3 + 15x^2 - 20x = 0
• x(4x^2 + 15x - 20) = 0

Корень x = 0. Для второго множителя решим квадратное уравнение:

• 4x^2 + 15x - 20 = 0

Дискриминант D = 15^2 - 4 * 4 * (-20) = 225 + 320 = 545 (положительный), следовательно, у этого уравнения два действительных корня.

Теперь найдем корни:

• x1 = ( -15 + sqrt(545) ) / 8
• x2 = ( -15 - sqrt(545) ) / 8

Изучив поведение функции g(x), мы можем заметить, что она будет положительна на промежутках, исключая корни, которые мы нашли.

Теперь найдем целые решения для обоих случаев:

• Случай 1: x >= 2. Целые решения: 2, 3, 4, ... (все целые числа начиная с 2).
• Случай 2: x < 2. Целые решения: -1, -2, -3, ... (все целые числа меньше 2).

Теперь сложим все целые решения:

Сумма целых решений неравенства:

• Сумма положительных целых решений (x >= 2) бесконечна.
• Сумма отрицательных целых решений (x < 2) также бесконечна.

Таким образом, неравенство имеет бесконечное множество целых решений.