По координатам вершин треугольника ABC, A(1,-1), B(-5,2), C(-2,3), нужно найти:

• уравнение линии BC;
• уравнение высоты AK;
• длину высоты AK;
• уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC;
• уравнение медианы (AM), проведенной через вершину A;
• угол (φ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB;
• площадь треугольника ABC.

Математика 9 класс Геометрия уравнение линии BC уравнение высоты AK длина высоты AK уравнение прямой через A уравнение медианы AM угол медианы и стороны AB площадь треугольника ABC Новый

Давайте поэтапно решим все задачи, связанные с треугольником ABC, заданным координатами его вершин A(1,-1), B(-5,2) и C(-2,3).

1. Уравнение линии BC:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки B и C, используем формулу для нахождения углового коэффициента (k):

• k = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) = B(-5, 2) и (x2, y2) = C(-2, 3).

Подставляем координаты:

• k = (3 - 2) / (-2 + 5) = 1 / 3.

Теперь используем точку B для нахождения уравнения прямой в общем виде y - y1 = k(x - x1):

• y - 2 = (1/3)(x + 5).

Упрощаем:

• 3(y - 2) = x + 5,
• 3y - 6 = x + 5,
• x - 3y + 11 = 0.

Таким образом, уравнение линии BC: x - 3y + 11 = 0.

2. Уравнение высоты AK:

Высота AK перпендикулярна линии BC, поэтому её угловой коэффициент будет равен -1/k:

• k = 1/3, следовательно, угловой коэффициент высоты AK: k' = -3.

Используя точку A(1, -1), находим уравнение высоты:

• y + 1 = -3(x - 1).

Упрощаем:

• y + 1 = -3x + 3,
• 3x + y - 2 = 0.

Таким образом, уравнение высоты AK: 3x + y - 2 = 0.

3. Длина высоты AK:

Для нахождения длины высоты AK, используем формулу расстояния от точки A до прямой BC:

• Расстояние = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2),

где A, B, C - коэффициенты уравнения прямой BC (x - 3y + 11 = 0): A = 1, B = -3, C = 11.

Подставим координаты точки A(1, -1):

• Расстояние = |1*1 + (-3)(-1) + 11| / sqrt(1^2 + (-3)^2) = |1 + 3 + 11| / sqrt(1 + 9) = 15 / sqrt(10).

Таким образом, длина высоты AK: 15 / sqrt(10).

4. Уравнение прямой (l), проходящей через точку A и параллельной прямой BC:

Параллельная прямая будет иметь тот же угловой коэффициент k = 1/3. Используем точку A(1, -1):

• y + 1 = (1/3)(x - 1).

Упрощаем:

• 3(y + 1) = x - 1,
• x - 3y - 4 = 0.

Таким образом, уравнение прямой (l): x - 3y - 4 = 0.

5. Уравнение медианы (AM), проведенной через вершину A:

Сначала найдем координаты середины отрезка BC (M):

• M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) = ((-5 - 2)/2, (2 + 3)/2) = (-3.5, 2.5).

Теперь находим угловой коэффициент AM:

• k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2.5 - (-1)) / (-3.5 - 1) = 3.5 / -4.5 = -7/9.

Используем точку A(1, -1):

• y + 1 = (-7/9)(x - 1).

Упрощаем:

• 9(y + 1) = -7(x - 1),
• 7x + 9y - 2 = 0.

Таким образом, уравнение медианы AM: 7x + 9y - 2 = 0.

6. Угол (φ), образованный медианой AM и стороной AB:

Для нахождения угла между двумя прямыми используем формулу:

• tan(φ) = |(k1 - k2) / (1 + k1 * k2)|,

где k1 - угловой коэффициент медианы AM, а k2 - угловой коэффициент AB:

• k2 = (2 - (-1)) / (-5 - 1) = 3 / -6 = -1/2.

Теперь подставим значения:

• tan(φ) = |(-7/9 + 1/2) / (1 + (-7/9)(-1/2))|.

Вычисляем:

• tan(φ) = |(-14 + 9) / (9 + 7)| = |-5/16| = 5/16.

Таким образом, угол (φ) можно найти через арктангенс: φ = arctan(5/16).

7. Площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = (1/2) * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставляем координаты:

• Площадь = (1/2) * |1(2 - 3) + (-5)(3 - (-1)) + (-2)(-1 - 2)| = (1/2) * |1*(-1) + (-5)(4) + (-2)(-3)|.

Вычисляем:

• Площадь = (1/2) * |-1 - 20 + 6| = (1/2) * |-15| = 15 / 2.

Таким образом, площадь треугольника ABC: 15 / 2.

Теперь у нас есть все необходимые результаты:

• Уравнение линии BC: x - 3y + 11 = 0.
• Уравнение высоты AK: 3x + y - 2 = 0.
• Длина высоты AK: 15 / sqrt(10).
• Уравнение прямой (l): x - 3y - 4 = 0.
• Уравнение медианы AM: 7x + 9y - 2 = 0.
• Угол φ: φ = arctan(5/16).
• Площадь треугольника ABC: 15 / 2.