Конечно, давайте решим уравнение x^4 = (3x - 4)^2 шаг за шагом.

1. Начнем с того, что у нас есть квадратное выражение справа. Раскроем скобки:

• (3x - 4)^2 = (3x - 4) * (3x - 4) = 9x^2 - 24x + 16.

2. Теперь подставим это выражение в уравнение:

x^4 = 9x^2 - 24x + 16

3. Переносим все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить нулевое уравнение:

x^4 - 9x^2 + 24x - 16 = 0

4. Теперь мы имеем многочлен четвертой степени. Для решения этого уравнения можно попробовать найти его корни. Попробуем использовать метод подбора или деления. Для начала проверим, есть ли простые целые корни, например, x = 2:

• Подставляем x = 2: 2^4 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 16 - 36 + 48 - 16 = 12 (не корень).
• Теперь проверим x = 1: 1^4 - 9(1^2) + 24(1) - 16 = 1 - 9 + 24 - 16 = 0 (корень).

5. Так как x = 1 является корнем, мы можем использовать деление многочленов, чтобы разложить наш многочлен:

Делим x^4 - 9x^2 + 24x - 16 на x - 1.

После деления мы получаем:

x^3 + x^2 - 8x + 16 = 0

6. Теперь мы можем попробовать найти корни и этого многочлена. Попробуем снова использовать метод подбора. Проверим x = 2:

• 2^3 + 2^2 - 8(2) + 16 = 8 + 4 - 16 + 16 = 12 (не корень).
• Теперь проверим x = -2: (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) + 16 = -8 + 4 + 16 + 16 = 28 (не корень).
• Теперь проверим x = 4: 4^3 + 4^2 - 8(4) + 16 = 64 + 16 - 32 + 16 = 64 (не корень).
• Теперь проверим x = -4: (-4)^3 + (-4)^2 - 8(-4) + 16 = -64 + 16 + 32 + 16 = 0 (корень).

7. Теперь мы знаем, что x = -4 является корнем, и можем снова использовать деление многочленов:

Делим x^3 + x^2 - 8x + 16 на x + 4.

После деления мы получаем:

x^2 - 3 = 0

8. Теперь решим это уравнение:

x^2 = 3

x = ±√3

9. Таким образом, у нас есть 4 корня уравнения:

• x = 1,
• x = -4,
• x = √3,
• x = -√3.

10. В итоге, все решения уравнения x^4 = (3x - 4)^2:

x = 1, x = -4, x = √3, x = -√3.