Помогите решить неравенство: (x² - 4) / (x + 3) < 0

Математика 9 класс Неравенства неравенство математика 9 класс решение неравенств (x² - 4) / (x + 3) < 0 помощь по математике Новый

Для решения неравенства (x² - 4) / (x + 3) < 0 начнем с анализа числителя и знаменателя отдельно.

1. **Найдём корни числителя**:

• Числитель равен нулю, когда x² - 4 = 0.
• Решим это уравнение: x² = 4.
• Корни будут: x = 2 и x = -2.

2. **Найдём корень знаменателя**:

• Знаменатель равен нулю, когда x + 3 = 0.
• Решим это уравнение: x = -3.

Теперь у нас есть три ключевых значения: x = -2, x = 2 и x = -3. Эти значения разделяют числовую прямую на несколько интервалов. Мы будем проверять знак выражения на каждом из этих интервалов:

3. **Определим интервалы**:

• (-∞, -3)
• (-3, -2)
• (-2, 2)
• (2, +∞)

4. **Проверим знак выражения в каждом интервале**:

• Для интервала (-∞, -3): выберем, например, x = -4.
• (-4)² - 4 = 16 - 4 = 12 (положительно)
• (-4 + 3) = -1 (отрицательно)
• Знак: положительное / отрицательное = отрицательное.
• Для интервала (-3, -2): выберем x = -2.5.
• (-2.5)² - 4 = 6.25 - 4 = 2.25 (положительно)
• (-2.5 + 3) = 0.5 (положительно)
• Знак: положительное / положительное = положительное.
• Для интервала (-2, 2): выберем x = 0.
• (0)² - 4 = 0 - 4 = -4 (отрицательно)
• (0 + 3) = 3 (положительно)
• Знак: отрицательное / положительное = отрицательное.
• Для интервала (2, +∞): выберем x = 3.
• (3)² - 4 = 9 - 4 = 5 (положительно)
• (3 + 3) = 6 (положительно)
• Знак: положительное / положительное = положительное.

5. **Соберем все результаты**:

• (-∞, -3): знак отрицательный
• (-3, -2): знак положительный
• (-2, 2): знак отрицательный
• (2, +∞): знак положительный

6. **Определим, где выполняется неравенство**:

Неравенство (x² - 4) / (x + 3) < 0 выполняется в интервалах:

• (-∞, -3)
• (-2, 2)

7. **Итоговое решение**:

Ответ: x ∈ (-∞, -3) ∪ (-2, 2).