Расстояние от центра О до хорды АВ равно 15 см. Угол ОАВ равен 45°. Точка С принадлежит хорде АВ, причем АС = 4 ВС. Какова длина отрезка АС?

Математика 9 класс Геометрия расстояние от центра до хорды угол ОАВ длина отрезка АС хорда АВ треугольник пропорции в треугольнике геометрия задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть круг с центром О и хорда АВ. Расстояние от центра О до хорды АВ равно 15 см, а угол ОАВ равен 45°. Точка С делит хорду АВ на две части: АС и ВС, причем известно, что АС = 4 ВС.

Обозначим длину отрезка ВС как x. Тогда длина отрезка АС будет равна 4x. Таким образом, вся хорда АВ будет равна:

• АВ = АС + ВС = 4x + x = 5x

Теперь нужно найти длину хорды АВ, используя известные значения. Для этого воспользуемся свойствами окружности и треугольника ОАВ.

В треугольнике ОАВ:

• ОА - радиус окружности.
• ОАВ - угол между радиусом и хордой.

Мы можем использовать теорему о расстоянии от центра окружности до хорды. Согласно этой теореме, если d - расстояние от центра до хорды (в нашем случае 15 см), а r - радиус окружности, то:

• d^2 + (l/2)^2 = r^2, где l - длина хорды.

В нашем случае:

• d = 15 см, l = 5x.

Подставим эти значения в формулу:

• 15^2 + (5x/2)^2 = r^2.
• 225 + (25x^2)/4 = r^2.

Теперь найдем длину радиуса r. Поскольку угол ОАВ равен 45°, мы можем использовать свойства треугольника:

• В треугольнике ОАВ угол 45° означает, что ОА = ОВ.
• Таким образом, мы можем выразить радиус через сторону треугольника.

Из треугольника ОАВ можно также выразить длину радиуса:

• ОА = OA = d / cos(45°) = 15 / (sqrt(2)/2) = 15 * (sqrt(2)) = 15sqrt(2).

Теперь подставим это значение радиуса в уравнение:

• 225 + (25x^2)/4 = (15sqrt(2))^2.
• 225 + (25x^2)/4 = 450.

Теперь решим это уравнение:

• (25x^2)/4 = 450 - 225.
• (25x^2)/4 = 225.
• 25x^2 = 225 * 4.
• 25x^2 = 900.
• x^2 = 900 / 25.
• x^2 = 36.
• x = 6.

Теперь мы можем найти длину отрезка АС:

• АС = 4x = 4 * 6 = 24 см.

Ответ: Длина отрезка АС равна 24 см.