Решите неравенства, используя метод интервалов: a) (x ^ 2 + 3x - 10) ^ 2

Математика 9 класс Неравенства неравенства метод интервалов решение неравенств математика 9 класс квадратные функции Новый

Давайте решим неравенство (x^2 + 3x - 10)^2 > 0 с помощью метода интервалов.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Для начала, нам нужно решить уравнение x^2 + 3x - 10 = 0. Это квадратное уравнение, и мы можем использовать дискриминант для нахождения его корней.

Дискриминант D рассчитывается по формуле:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 3, c = -10.

Подставим значения:

• D = 3^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня, которые можно найти по формуле:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения:

• x1 = (-3 + √49) / 2 * 1 = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2,
• x2 = (-3 - √49) / 2 * 1 = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5.

Таким образом, корни уравнения x^2 + 3x - 10 = 0: x1 = 2 и x2 = -5.

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы, используя найденные корни:

• (-∞, -5),
• (-5, 2),
• (2, +∞).

Шаг 3: Проверим знаки на каждом интервале

Поскольку выражение (x^2 + 3x - 10)^2 всегда неотрицательно (квадрат любого числа не может быть отрицательным), нам нужно проверить, когда оно больше нуля.

В точках x = -5 и x = 2 значение выражения равно нулю (поскольку это корни). Теперь проверим знаки на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -5): возьмем, например, x = -6. Подставляем в выражение:
• (-6^2 + 3 * (-6) - 10)^2 = (36 - 18 - 10)^2 = (8)^2 > 0.
• Для интервала (-5, 2): возьмем, например, x = 0. Подставляем:
• (0^2 + 3 * 0 - 10)^2 = (-10)^2 > 0.
• Для интервала (2, +∞): возьмем, например, x = 3. Подставляем:
• (3^2 + 3 * 3 - 10)^2 = (9 + 9 - 10)^2 = (8)^2 > 0.

Шаг 4: Запишем ответ

Таким образом, выражение (x^2 + 3x - 10)^2 > 0 на интервалах:

• (-∞, -5),
• (-5, 2),
• (2, +∞).

Ответ: неравенство выполняется для x ∈ (-∞, -5) ∪ (-5, 2) ∪ (2, +∞).