Чтобы решить неравенство 4x - x² ≥ 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Для этого мы можем вынести общий множитель:

Шаг 1: Перепишем неравенство:

4x - x² ≥ 0 можно записать как -x² + 4x ≥ 0.

Шаг 2: Умножим обе стороны неравенства на -1. Не забудьте, что при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

x² - 4x ≤ 0.

Шаг 3: Теперь мы можем вынести общий множитель:

x(x - 4) ≤ 0.

Шаг 4: Найдем корни уравнения x(x - 4) = 0:

• x = 0,
• x - 4 = 0, то есть x = 4.

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 4.

Шаг 5: Теперь определим знаки выражения x(x - 4) на интервалах, которые образуются этими корнями. Мы рассмотрим три интервала:

• (-∞, 0),
• (0, 4),
• (4, +∞).

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0), например, x = -1: (-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) = 5 (положительное).
• Для интервала (0, 4), например, x = 2: (2)(2 - 4) = (2)(-2) = -4 (отрицательное).
• Для интервала (4, +∞), например, x = 5: (5)(5 - 4) = (5)(1) = 5 (положительное).

Шаг 6: Теперь мы можем записать, где выражение x(x - 4) меньше или равно нулю. Это происходит на интервале (0, 4) и включает концы, так как в этих точках выражение равно нулю:

Ответ: x ∈ [0, 4].