Сколько целых решений можно определить для неравенства 5√(x^2) - 2x + 1 - (x - 1)^2 - 4 >= 0?

Математика 9 класс Неравенства неравенство целые решения математика 9 класс уравнения алгебра квадратные выражения математические задачи Новый

Для решения неравенства 5√(x^2) - 2x + 1 - (x - 1)^2 - 4 >= 0, начнем с упрощения выражения.

Обратите внимание, что √(x^2) равен |x|. Таким образом, мы можем переписать неравенство как:

5|x| - 2x + 1 - (x - 1)^2 - 4 >= 0.

Теперь упростим выражение (x - 1)^2:

• (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1.

Подставим это обратно в неравенство:

5|x| - 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) - 4 >= 0.

Упростим это выражение:

• 5|x| - 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 - 4 >= 0
• 5|x| - x^2 - 4 >= 0.

Теперь у нас есть два случая в зависимости от значения x:

1. Случай 1: x >= 0, тогда |x| = x. Неравенство становится:
• 5x - x^2 - 4 >= 0.

Переписываем его:

• -x^2 + 5x - 4 >= 0.
• x^2 - 5x + 4 <= 0.

Решим квадратное уравнение x^2 - 5x + 4 = 0:

• Дискриминант D = 5^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.
• Корни уравнения:
• x1 = (5 + 3) / 2 = 4, x2 = (5 - 3) / 2 = 1.

Теперь определим промежутки:

• Неравенство x^2 - 5x + 4 <= 0 выполняется на промежутке [1, 4].

Таким образом, для случая x >= 0 мы имеем целые решения x = 1, 2, 3, 4.

2. Случай 2: x < 0, тогда |x| = -x. Неравенство становится:
• 5(-x) - x^2 - 4 >= 0.

Переписываем его:

• -5x - x^2 - 4 >= 0.
• x^2 + 5x + 4 <= 0.

Решим квадратное уравнение x^2 + 5x + 4 = 0:

• Дискриминант D = 5^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.
• Корни уравнения:
• x1 = (-5 + 3) / 2 = -1, x2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

Теперь определим промежутки:

• Неравенство x^2 + 5x + 4 <= 0 выполняется на промежутке [-4, -1].

Таким образом, для случая x < 0 мы имеем целые решения x = -4, -3, -2, -1.

Теперь соберем все целые решения:

• Из первого случая: 1, 2, 3, 4.
• Из второго случая: -4, -3, -2, -1.

Итак, общее количество целых решений:

4 (положительных) + 4 (отрицательных) = 8.

Ответ: 8 целых решений.