Решим задачу по шагам.

а) Найдем длину ребра куба.

Диагональ куба связывает длину его ребра с помощью формулы:

D = a * √3,

где D - длина диагонали куба, a - длина ребра.

В нашем случае длина диагонали D равна 6 см. Подставим это значение в формулу:

1. Записываем уравнение: 6 = a * √3.
2. Чтобы найти a, нужно выразить его через D: a = D / √3.
3. Подставляем D: a = 6 / √3.
4. Упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на √3: a = (6 * √3) / 3 = 2√3.

Таким образом, длина ребра куба равна 2√3 см.

б) Найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Для нахождения косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, нам нужно использовать свойства треугольника, образованного диагональю и ребром куба.

Косинус угла можно найти по формуле:

cos(α) = (длина ребра) / (длина диагонали).

Мы уже знаем, что длина ребра a = 2√3 см, а длина диагонали D = 6 см. Подставим эти значения в формулу:

1. Записываем уравнение: cos(α) = a / D.
2. Подставляем значения: cos(α) = (2√3) / 6.
3. Упрощаем: cos(α) = √3 / 3.

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен √3 / 3.