В квадрате ABCD диагональ AC пересекает отрезок BM (где M принадлежит AD) в точке P. Сторона квадрата равна 16 см, а отрезок AM равен 12 см. Как найти длины отрезков BP и PM?

Математика 9 класс Геометрия длина отрезков BP и PM квадрат ABCD диагональ AC отрезок BM точка P сторона квадрата 16 см отрезок AM 12 см Новый

Чтобы найти длины отрезков BP и PM, давайте сначала определим координаты всех ключевых точек квадрата ABCD и точки M.

Пусть квадрат ABCD расположен на координатной плоскости следующим образом:

• A(0, 0)
• B(16, 0)
• C(16, 16)
• D(0, 16)

Теперь точка M, которая находится на отрезке AD, имеет координаты:

• M(0, 12)

Теперь найдем уравнение диагонали AC. Диагональ AC соединяет точки A(0, 0) и C(16, 16). Уравнение линии можно найти, используя формулу для наклона:

Наклон (k) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (16 - 0) / (16 - 0) = 1.

Уравнение прямой AC в общем виде:

• y = x.

Теперь найдем уравнение отрезка BM. Отрезок BM соединяет точки B(16, 0) и M(0, 12). Найдем наклон:

Наклон (k) = (12 - 0) / (0 - 16) = 12 / -16 = -3/4.

Уравнение прямой BM можно записать в виде:

• y - 0 = (-3/4)(x - 16),

что упрощается до:

• y = (-3/4)x + 12.

Теперь мы имеем уравнения двух прямых:

• AC: y = x
• BM: y = (-3/4)x + 12.

Чтобы найти точку пересечения P, приравняем y из первого уравнения ко второму:

x = (-3/4)x + 12.

Переносим все x на одну сторону:

x + (3/4)x = 12.

(1 + 3/4)x = 12.

(7/4)x = 12.

x = 12 * (4/7) = 48/7.

Теперь подставим это значение x в уравнение AC, чтобы найти y:

y = 48/7.

Таким образом, координаты точки P:

• P(48/7, 48/7).

Теперь найдем длины отрезков BP и PM.

Сначала найдем длину BP:

Координаты точки B(16, 0) и P(48/7, 48/7).

Длина BP = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²):

BP = √((16 - 48/7)² + (0 - 48/7)²).

Сначала найдем x2 - x1:

16 - 48/7 = 112/7 - 48/7 = 64/7.

Теперь найдем y2 - y1:

0 - 48/7 = -48/7.

Теперь подставляем в формулу:

BP = √((64/7)² + (-48/7)²) = √((4096/49) + (2304/49)) = √(6400/49) = 80/7.

Теперь найдем длину PM:

Координаты точки P(48/7, 48/7) и M(0, 12):

Длина PM = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²):

PM = √((48/7 - 0)² + (48/7 - 12)²).

Сначала найдем y2 - y1:

48/7 - 12 = 48/7 - 84/7 = -36/7.

Теперь подставляем в формулу:

PM = √((48/7)² + (-36/7)²) = √((2304/49) + (1296/49)) = √(3600/49) = 60/7.

Таким образом, длины отрезков BP и PM равны:

• BP = 80/7 см.
• PM = 60/7 см.