В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8, через вершину прямого угла проведена прямая, параллельная гипотенузе. Каково расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника до данной прямой?

Математика 9 класс Геометрия прямоугольный треугольник катеты 6 и 8 медиана расстояние прямая параллельная гипотенузе Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что найдем гипотенузу нашего прямоугольного треугольника. У нас есть катеты, длины которых равны 6 и 8.

Сначала используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

• гипотенуза = √(катет1² + катет2²)
• гипотенуза = √(6² + 8²)
• гипотенуза = √(36 + 64)
• гипотенуза = √100
• гипотенуза = 10

Теперь мы знаем, что гипотенуза треугольника равна 10.

Далее, нам нужно найти точку пересечения медиан. В прямоугольном треугольнике медианы делят его на три равные части и пересекаются в точке, которая называется центроидом. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1. Чтобы найти координаты центроида, нам нужно знать координаты вершин треугольника.

Предположим, что вершины треугольника имеют следующие координаты:

• A (0, 0) - вершина прямого угла
• B (6, 0) - конец одного катета
• C (0, 8) - конец другого катета

Теперь найдем координаты центроида. Формула для нахождения координат центроида (G) треугольника с вершинами (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) выглядит так:

• xG = (x1 + x2 + x3) / 3
• yG = (y1 + y2 + y3) / 3

Подставим наши координаты:

• xG = (0 + 6 + 0) / 3 = 2
• yG = (0 + 0 + 8) / 3 = 8/3

Таким образом, координаты центроида G равны (2, 8/3).

Теперь, чтобы найти расстояние от точки G до прямой, проведенной через вершину прямого угла (A) и параллельной гипотенузе, нужно определить уравнение этой прямой. Параллельная прямая будет иметь такой же наклон, как гипотенуза.

Наклон гипотенузы можно найти, используя координаты B и C:

• наклон = (yC - yB) / (xC - xB) = (8 - 0) / (0 - 6) = -4/3

Уравнение прямой, проходящей через точку A (0, 0) и имеющей наклон -4/3, будет выглядеть так:

• y = (-4/3)x

Теперь, чтобы найти расстояние от точки G (2, 8/3) до этой прямой, используем формулу расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

• расстояние = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)

Перепишем уравнение прямой в стандартной форме:

• 4x + 3y = 0

Здесь A = 4, B = 3, C = 0. Подставим координаты точки G (2, 8/3):

• расстояние = |4*2 + 3*(8/3) + 0| / √(4² + 3²)
• расстояние = |8 + 8| / √(16 + 9)
• расстояние = 16 / √25
• расстояние = 16 / 5

Таким образом, расстояние от точки пересечения медиан до данной прямой равно 16/5.