Чтобы найти сумму всех целых отрицательных решений данной совокупности неравенств, начнем с каждого из них по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

(x² + 12x + 36)(x - 1) ≥ 0

Сначала упростим первое выражение:

x² + 12x + 36 = (x + 6)². Таким образом, неравенство можно переписать как:

(x + 6)²(x - 1) ≥ 0

Теперь найдем корни этого неравенства:

• Корень (x + 6)² = 0: x = -6 (двойной корень)
• Корень (x - 1) = 0: x = 1 (одинарный корень)

Теперь определим знаки произведения (x + 6)²(x - 1) на интервалах, разделенных корнями:

• При x < -6: (положительное)(отрицательное) = отрицательное
• При x = -6: 0 (включаем в решение)
• При -6 < x < 1: (положительное)(отрицательное) = отрицательное
• При x = 1: 0 (включаем в решение)
• При x > 1: (положительное)(положительное) = положительное

Таким образом, решение первого неравенства:

x ≤ -6 или x ≥ 1.

2. Теперь решим второе неравенство:

(x + 6)/x < 0

Рассмотрим, где дробь (x + 6)/x меняет знак. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Числитель: x + 6 = 0 → x = -6
• Знаменатель: x = 0

Теперь определим знаки дроби на интервалах:

• При x < -6: (отрицательное)/(отрицательное) = положительное
• При x = -6: 0 (не включаем в решение)
• При -6 < x < 0: (положительное)/(отрицательное) = отрицательное
• При x = 0: не определено
• При x > 0: (положительное)/(положительное) = положительное

Таким образом, решение второго неравенства:

-6 < x < 0.

3. Найдем пересечение решений:

Теперь у нас есть два решения:

• Первое неравенство: x ≤ -6 или x ≥ 1
• Второе неравенство: -6 < x < 0

Пересечение этих решений дает:

x = -6 (из первого неравенства) не подходит, так как во втором неравенстве -6 не включается.

Таким образом, мы ищем целые отрицательные решения в интервале -6 < x < 0. Это значения:

• x = -5
• x = -4
• x = -3
• x = -2
• x = -1

4. Найдем сумму всех целых отрицательных решений:

Суммируем найденные значения:

-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) = -15.

Ответ: Сумма всех целых отрицательных решений равна -15.